1. Заметим, что все переменные не могут быть принимать значение 1 одновременно, так как тогда вторая скобка будет истинной, а значит, импликация будет истинной. Значит в первой ячейке первой строки находится 0. Предположим, что первый столбец занимает \(x.\) Но в таком случае дизъюнкция в первой скобке будет ложной (так как \(y = 1, \; z = 1\)), а это значит что \(F = 1.\) Если в первом столбце представлена переменная \(y,\) то переменные \(x, \; z\) будут равны, то есть эквивалентность будет истинной, а \(F = 1.\) Значит в первом столбце находится переменная \(z.\)

2. Рассмотрим вторую строчку теперь. Если \(z = 1,\) то \(y = 0\) (чтобы дизъюнкция была истинной), а \(x = 0.\) Но данный набор не подходит под вторую строку. Значит, \(z = 0\) во второй строке, \(x = 1,\) \(y = 0\) (чтобы строки не повторялись). Значит, \(x\) занимает третий столбец, а \(y\) занимает второй.

Ответ: zyx

Задание 37 #14617

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(((x \rightarrow \overline z) \equiv (\overline x \vee \overline y)) \wedge (y \rightarrow z) \)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

Конъюнкция будет ложна, если хотя бы одна из скобок будет ложной. Рассмотрим вторую скобку. Импликация будет ложной, если \(y = 1, \; z = 0.\) Если при этом \(x = 0,\) то эквивалентность будет истинной. В случае, если \(x = 1,\) то \(F = 0\) также. Заметим, что этим двум наборам переменных удовлетворяет первая и третья строчки, причём переменные расположены в порядке \(x, \; y, \; z.\) Проверим, подходит ли данный набор переменных под вторую строку. Импликация во второй скобке будет истинной, а вот эквивалентность в первой скобке будет ложной. Значит и \(F = 0.\) Значит, данное расположение переменных удовлетворяет условию.

Ответ: xyz

Задание 38 #14618

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(((y \vee z) \rightarrow x) \vee (x \equiv y)\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

Дизъюнкция ложна в том случае, если импликация в первой скобке и эквивалентность во второй буду ложны. Импликация будет ложна в случае, если \(x = 0.\) Значит, \(x\) занимает второй столбец, так как только в этом столбце не представлены единицы. Чтобы строки не повторялись, в третьей ячейке первой строки должен находиться 0. Чтобы эквивалентность была ложной, переменные \(x, \; y\) должны принимать разные значения. Значит, переменная \(y\) занимает первый столбец. Под переменную \(z\) остаётся третий столбец.

Ответ: yxz

Задание 39 #14619

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \rightarrow (y \wedge z)) \vee (x \equiv z)\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Рассмотрим первую строку. Предположим, что все переменные принимают значение 0. Тогда вторая скобка будет истинна, а значит, и вся дизъюнкция будет истинна. Следовательно, вторую ячейку в первой строке занимает 1. Исходя из эквивалентности мы можем сказать, что данный столбец занимает \(x\) или \(z.\) Если это \(z\), то импликация в первой скобке будет истинной, а значит, и \(F = 1.\) Значит второй столбец занимает \(x.\)

2. Импликация в первой скобке будет ложной в случае, если \(x = 1.\) Значит во второй ячейке второй строки находится 1. Тогда для ложности эквивалентности \(z = 0.\) Из этого получаем, что в третьей ячейке второй строки находится 0, а сам столбец занят переменной \(z.\) Значит в первом столбце находится \(y.\)

Ответ: yxz

Задание 40 #14620

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(((x \rightarrow \overline y) \rightarrow \overline z) \equiv (x \wedge \overline y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Рассмотрим случай, когда вторая скобка будет истинной. Для этого \(x = 1, \; y = 0.\) Тогда и первая скобка должна быть истинной (для истинности эквивалентности). Исходя из этого и из первой скобки мы поймём, что \(z = 0\).

2. В случае, когда первая скобка будет ложной \(z = 1.\) При этом либо \(x = 1, \; y = 0,\) либо \(x = 0, \; y = 0,\) либо \(x = 0, \; y = 1.\) Первый случай нам не подходит, так как конъюнкция в таком случае будет истинной. Заметим, что третий случай удовлетворяет нам, он совпадает со второй строкой, следовательно, \(x\) занимает третий столбец. А из второго случая мы поймём, что \(z\) занимает второй столбец, а \(y\) первый.

Ответ: yzx

Задание 41 #14621

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \rightarrow (y \wedge z)) \vee (z \equiv x)\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Дизъюнкция ложна в том случае, когда обе скобки ложны. Рассмотрим первую скобку. Импликация будет ложна тогда, когда \(x = 1.\) Среди всех столбцов только во втором не присутствуют нули. Значит, второй столбец отводится под переменную \(x,\) а также в ячейках в этом столбце находятся единицы.

2. Обратив внимание на вторую скобку, мы поймём, что \(z, \; x\) принимают разные значения. Поэтому во второй строчке в третьей ячейке находится 0, а третий столбец занимает переменная \(z.\) Из этого следует, что в первом столбце находится \(y.\)

Ответ: yxz

Задание 42 #14622

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \rightarrow (\overline y \equiv \overline z)) \wedge (\overline x \equiv z)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Конъюнкция истинна в том случае, когда обе скобки будут истинны. Рассмотрим вторую скобку. Она принимает истинное значение тогда, когда \(x, \; z\) принимают разные значения. Посмотрев на первую и вторую строчки мы поймём, что эти переменные не могут занимать первый и третий, второй и третий столбцы (так как в таком случае у переменных совпадут значения). Следовательно, переменная \(y\) занимает третий столбец.

2. Обратимся ко второй строке. В ней \(y = 1.\) Если \(x\) занимает первый столбец, а \(z\) второй, то импликация будет ложной, так как \(x = 1,\) \((\overline y \equiv \overline z) = 0.\) Следовательно, \(x\) занимает второй столбец, а \(z\) занимает первый.

Ответ: zxy

1 ... 5 6 7