Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Системы счисления (сложно)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уравнения и сложные задачи на системы счисления

Задание 1 #11462

Сколько единиц в двочиной записи числа \(2^{2019}+8^5+2\)?

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: \(2^{2019}+8^5+2=2^{1024}+({2^3})^5+2^1=2^{2019}+2^{15}+2^1\). В двоичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{15}+10\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2001}1\underbrace{0...000}_{15}10 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 3

Задание 2 #11463

Сколько единиц в троичной записи числа \(3^{2019}+27^7+3\)?

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2019}+27^7+3=3^{2019}+({3^3})^7+3^1=3^{2019}+3^{21}+3^1\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{21}+10\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{1995}1\underbrace{0...000}_{21}10 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 3

Задание 3 #11464

Сколько единиц в троичной записи числа \(3^{2051}+81^6+8\)?

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2051}+81^6+8=3^{2051}+({3^4})^6+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)=3^{2051}+3^{24}+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2051}+1\overbrace{0...000}^{24}+22\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 22\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2024}1\underbrace{0...000}_{24}22 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 2

Задание 4 #11465

Сколько четверок содержится в пятеричной записи числа \(5^{50}+25^3-125\)?

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, получим: \(5^{50}+25^3-125=5^{50}+({5^2})^3-5^3=5^{50}+5^6-125\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{43}1000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного \(5^3\):
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ 10...01000000\\ 1000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{44}444000 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит единица другого числа.

Ответ: 3

Задание 5 #11466

Сколько пятерок содержится в шестеричной записи числа \(6^{120}+36^3-160\)?

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки и переведем 160 в шестеричную, так как это число не является степенью двойки, получим: \(6^{120}+36^3-321=6^{120}+({6^2})^3-(4\cdot6^2+2\cdot6^1+4\cdot6^0)=6^{50}+6^6-424\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{43}1000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного 424:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,5\,5\,5\,5\,5\,6}\\ 10...01000000\\ 424\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{44}555132 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем шесть в соседний разряд, и затем из полученной “шестерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит последняя цифра другого числа, отличная от нуля.

Ответ: 3

Задание 6 #11467

Сколько пятерок содержится в шестеричной записи числа \(6^{120}+216^3-55\)?

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки и переведем 160 в шестеричную, так как это число не является степенью двойки, получим: \(6^{120}+216^3-321=6^{120}+({6^3})^3-(1\cdot6^2+3\cdot6^1+1\cdot6^0)=6^{120}+6^9-131\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10..0..0000000000\\ 1000000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{109}1000000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного 131:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,6}\\ 10..01000000000\\ 131\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{110}555555425 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем шесть в соседний разряд, и затем из полученной “шестерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит последняя цифра другого числа, отличная от нуля.

Ответ: 7

Задание 7 #11468

Решите уравнение: \(11_7+x=455_6\)

Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Переведем числа в десятичную систему счисления:

\(11_7=1\cdot7^0+1\cdot7^1=8_{10}\)

\(455_6=5\cdot6^0+5\cdot6^1+4\cdot6^2=179_{10}\)

Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:

\(8+x=179\)

\(x=179-8=171\)

Ответ: 171