Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Графы

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Простейшие задачи на графы

Задание 1 #12575

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Е?

Заметим, что количество путей в город Е является суммой путей в города Ж, Г и Д. Количество путей в город Ж — сумма путей в города Г и Б. Таким образом получаем:

Г = Б + В

Д = Г + В

Ж = Б + Г

Е = Ж + Г + Д

Заметим, что в пункты Б и В можно попасть единственным способом — из города А. Отметим на рисунке индексами сверху каждого пункта количество путей, с помощью которых в него можно попасть и посчитаем итоговое.

Ответ: 8

Задание 2 #12576

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Заметим, что количество путей в город Ж является суммой путей в города Д, Г и Е. Количество путей в город Г — сумма путей в город В, Б и Е. Таким образом получаем:

Г = Б + В + Е

Д = В + Г

Ж = Д + Г + Е

Заметим, что в пункты Б, В и Е можно попасть единственным способом — из города А. Отметим на рисунке индексами сверху каждого пункта количество путей, с помощью которых в него можно попасть и посчитаем итоговое.

Ответ: 8

Задание 3 #12577

Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е построены дороги, протяжённость которых (в километрах) приведена в таблице:

Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и E. Передвигаться можно только по дорогам, протяжённость которых указана в таблице.

Найдём все варианты маршрутов из A в E и выберем самый короткий.

Из пункта A можно попасть в пункты B, D.

Из пункта B можно попасть в пункты C, D.

Из пункта C можно попасть в пункты D, E.

A—B—C—E: длина маршрута 7 км.

A—D—B—C—E: длина маршрута 9 км.

A—D—C—E: длина маршрута 6 км.

Самый короткий путь: A—D—C—E. Длина маршрута 6 км.

Ответ: 6

Задание 4 #12578

Геральт спешит выручить Цири из плена Кагыра. В таблице указана протяжённость дорог между пунктами, через которые он может пройти. Укажите длину самого короткого участка кратчайшего пути от Геральта до Цири (от точки И до точки М). Передвигаться можно только по дорогам, указанным в таблице:

Найдём все варианты маршрутов из И в М и выберем самый короткий.

Из пункта И можно попасть в пункты А, Б, Г, М.

Из пункта Г можно попасть в пункты И, М.

Из пункта В можно попасть в пункты А, Б.

Из пункта Б можно попасть в пункты В, И, М.

И—А—В—Б—М: длина маршрута 7 км.

И—Б—М: длина маршрута 4 км.

И—Г—М: длина маршрута 7 км.

И—М: длина маршрута 8 км.

Самый короткий путь: И—Б—М. Длина маршрута 4 км. Самый короткий участок этого пути равен 1 км.

Ответ: 1

Задание 5 #12579

На схеме нарисованы дороги между четырьмя населёнными пунктами A, B, C, D и указаны протяжённости данных дорог.

Определите, какие два пункта наиболее удалены друг от друга (при условии, что передвигаться можно только по указанным на схеме дорогам). В ответе укажите кратчайшее расстояние между этими пунктами.

Заметим, что наиболее удалены друг от друга пункты A и D. Найдём все варианты маршрутов из A в D и выберем самый короткий.

A—B—D: длина маршрута 13 км.

A—C—D: длина маршрута 15 км.

A—B—C—D: длина маршрута 23 км.

A—C—B—D: длина маршрута 17 км.

Заметим, что кратчайшее расстояние между пунктами A и D равняется 13.

Ответ: 13

Задание 6 #12580

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

Начнем считать количество путей с конца маршрута — с города К. Пусть NX — количество различных путей из города А в город X, N — общее число путей.

В К можно приехать из Е, В, Г или Ж, поэтому N = NК = NЕ + NВ + N Г + NЖ (*).

Аналогично:

NЕ = NБ + NВ = 1 + 2 = 3;

NЖ = NД = 1;

NВ = NА + NБ = 1 + 1 = 2;

NГ = NА + NД = 1 + 1 = 2;

NД = NА = 1;

NБ = NА = 1.

Подставим в формулу (*): N = 3 + 2 + 2 + 1 = 8.

Ответ: 8

Задание 7 #12581

Между населёнными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяжённость которых (в километрах) приведена в таблице.

Определите длину кратчайшего пути между пунктами B и E. Передвигаться можно только по дорогам, протяжённость которых указана в таблице.

Проанализируем некоторые возможные маршруты.

Маршрут B—D—E, длина 11 км.

Маршрут B—C—D—E, длина 10 км.

Маршрут B—С—D—A—E, длина 9 км.

Любые другие маршруты будут длиннее маршрута B—С—D—A—E. Самый короткий путь: B—С—D—A—E. Длина маршрута 9 км.

Ответ: 9