Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
ПОВТОРИ число РАЗ
последовательность команд
КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
сместиться на (10, 20)
ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
сместиться на \((c, d)\)
сместиться на (\(-32,\; -28\))
КОНЕЦ ПОВТОРИ
сместиться на (\(-30,\; -50\))
КОНЕЦ
Укажите максимальное значение числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)
Запишем изменения координат:
\(\Delta x = 10 + k(c-32)-30;\)
\(\Delta y = 20 + k(d-28)-50.\)
Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.
Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:
\[\begin{cases} 10 + k(c-32)-30 = 0 \\ 20 + k(d-28)-50 = 0 \end{cases}\]
Преобразуем выражение:
\[\begin{cases} k(c-32) = 20 \\ k(d-28) = 30 \end{cases}\]
Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 20, и 30, т.е. НОД этих чисел. НОД(20,30)=10
Ответ: 10
