14. Сложные исполнители и алгоритмы

Задание 1 #15140

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-32, -73)

ПОВТОРИ \(k\) РАЗ

сместиться на \((c, d)\)

сместиться на (\(246,\; -114\))

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (\(-16,\; 13\))

КОНЕЦ

Укажите количество чисел \(k>1\), для которых найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать решение

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)

Запишем изменения координат:

\(\Delta x = -32 + k(c+246)-16;\)

\(\Delta y = -73 + k(d-114)+13.\)

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} -32 + k(c+246)-16 = 0 \\ -73 + k(d-114)+13 = 0 \end{cases}\]

Преобразуем выражение:

\[\begin{cases} k(c+246) = 48 \\ k(d-114) = 60 \end{cases}\]

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 48, и 60. Таких чисел пять – 2, 3, 4, 6 и 12.

Ответ: 5

Задание 2 #15143

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-29, -100)

ПОВТОРИ \(k\) РАЗ

сместиться на \((c, 87)\)

сместиться на (\(32,\; d\))

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (\(-25,\; 19\))

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать решение

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)

Запишем изменения координат:

\(\Delta x = -29 + k(c+32)-25;\)

\(\Delta y = -100 + k(87+d)+19.\)

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} -29 + k(c+32)-25 = 0 \\ -100 + k(87+d)+19 = 0 \end{cases}\]

Преобразуем выражение:

\[\begin{cases} k(c+32) = 54 \\ k(87+d) = 81 \end{cases}\]

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 81, и 54, т.е. НОД этих чисел. НОД(81,54)=27.

Ответ: 27

Задание 3 #15142

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-15, -144)

ПОВТОРИ \(k\) РАЗ

сместиться на \((c, 300)\)

сместиться на (\(200,\; d\))

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (\(-25,\; 72\))

КОНЕЦ

Укажите количество чисел \(k>1\), для которых найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать решение

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)

Запишем изменения координат:

\(\Delta x = -15 + k(c+200)-25;\)

\(\Delta y = -144 + k(300+d)+72.\)

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} -15 + k(c+200)-25 = 0 \\ -144 + k(300+d)+72 = 0 \end{cases}\]

Преобразуем выражение:

\[\begin{cases} k(c+200) = 40 \\ k(300+d) = 72 \end{cases}\]

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 40, и 72. Таких чисел три – 2, 4 и 8.

Ответ: 3

Задание 4 #15141

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-15, -144)

ПОВТОРИ \(k\) РАЗ

сместиться на \((c, 300)\)

сместиться на (\(200,\; d\))

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (\(-25,\; 72\))

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать решение

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)

Запишем изменения координат:

\(\Delta x = -15 + k(c+200)-25;\)

\(\Delta y = -144 + k(300+d)+72.\)

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} -15 + k(c+200)-25 = 0 \\ -144 + k(300+d)+72 = 0 \end{cases}\]

Преобразуем выражение:

\[\begin{cases} k(c+200) = 40 \\ k(300+d) = 72 \end{cases}\]

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 40, и 72, т.е. НОД этих чисел. НОД(40,72)=8.

Ответ: 8

Задание 5 #15144

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-29, -100)

ПОВТОРИ \(k\) РАЗ

сместиться на \((c, 87)\)

сместиться на (\(32,\; d\))

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (\(-25,\; 19\))

КОНЕЦ

Укажите количество чисел \(k>1\), для которых найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать решение

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)

Запишем изменения координат:

\(\Delta x = -29 + k(c+32)-25;\)

\(\Delta y = -100 + k(87+d)+19.\)

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} -29 + k(c+32)-25 = 0 \\ -100 + k(87+d)+19 = 0 \end{cases}\]

Преобразуем выражение:

\[\begin{cases} k(c+32) = 54 \\ k(87+d) = 81 \end{cases}\]

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 54, и 81.Таких чисел три – 3, 9, 27.

Ответ: 3

Задание 6 #15139

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-32, -73)

ПОВТОРИ \(k\) РАЗ

сместиться на \((c, d)\)

сместиться на (\(246,\; -114\))

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (\(-16,\; 13\))

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать решение

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)

Запишем изменения координат:

\(\Delta x = -32 + k(c+246)-16;\)

\(\Delta y = -73 + k(d-114)+13.\)

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} -32 + k(c+246)-16 = 0 \\ -73 + k(d-114)+13 = 0 \end{cases}\]

Преобразуем выражение:

\[\begin{cases} k(c+246) = 48 \\ k(d-114) = 60 \end{cases}\]

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 48, и 60, т.е. НОД этих чисел. НОД(48,60)=12.

Ответ: 12

Задание 7 #15138

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-30, -110)

ПОВТОРИ \(k\) РАЗ

сместиться на \((c, d)\)

сместиться на (\(76,\; -93\))

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (\(0,\; 5\))

КОНЕЦ

Укажите количество чисел \(k>1\), для которых найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать решение

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)

Запишем изменения координат:

\(\Delta x = -30 + k(c+76)+0;\)

\(\Delta y = -110 + k(d-93)+5.\)

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} -30 + k(c+76)+0 = 0 \\ -110 + k(d-93)+5 = 0 \end{cases}\]

Преобразуем выражение:

\[\begin{cases} k(c+76) = 30 \\ k(d-93) = 105 \end{cases}\]

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 30, и 105. Таких чисел три – 3, 5 и 15.

Ответ: 3