Два игрока, Петя и Вова, играют в игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди. Первым ходит Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или 5 камней. Например, имея кучу из 4 камней, за один ход можно получить кучу из 5 или 9 камней. У каждого игрока имеется неограниченный запас камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 35. Победителем считаается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 35 камней и более.
В начале игры в куче было 1\(\leq\) S\(\leq\) 34.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случиях обосновывайте свой ответ.
1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя выигрывает одним ходом. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрышные ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети, Вова может выиграть совим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вовы.
2. Укажите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как походит Вова. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите значение S, при котором у Вовы есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вовы нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вовы. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вовы (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.
1. а) Петя может выиграть первым ходом, если S = 30, …, 34. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 34 камней. Пете достаточно добавить 5 камней в кучу, чтобы выиграть. При S < 30 получить за один ход больше 34 камней невозможно.
б) Вова может выиграть первым ходом, если сначала в куче было S = 29 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 30 камней или 34 камня, тогда Вова увеличивает количество камней в куче на 5 и выигрывает.
2. Возможные значения S: 28, 24. При данных значениях Петя не может выиграть первым ходом, но он может получить кучу из 29 камней (при S = 28 Петя увеличивает количество камней в куче на 1; При S = 24 — добавляет 5 камней). Тогда при любом ходе Вовы, Петя оказывается в выигрышной позиции, прибавляет к куче 5 камней и побеждает.
3. Возможное значение S = 27. Первым ходом Петя может сделать кучу из 28 или 32 камней. Если в куче 32 камня, то Вова своим первым ходом увеличивает количество камней на 5 и выигрывает. Если в куче 28 камней, то как показано в пункте 2. Вова своим первым ходом прибавляет 1 камень к куче. Петя вторым ходом может получить 30 или 34 камней. Тогда Вова своим вторым ходом выигрывает, прибавив 5 камней к куче.
Ответ: См.решение