Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

8. Количество информации и комбинаторика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Комбинаторика, перечисления

Задание 1 #14848

Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть буквы Т, О, С, П, записаны в определённом порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка.

1. ТТТТ

2. ТТТО

3. ТТТС

4. ТТТП

5. ТТОТ

\(\dots\)

Сколько слов между словами “СТОП” и “ПОСТ”?

Исходя из порядка букв в списке, присвоим им следующие коды: Т — 0, О — 1, С — 2, П — 3. Тогда первое слово — 0000, второе — 0001 и т.д. Слово “ПОСТ”  , будет кодироваться как 3120, а слово “СТОП”  будет кодироваться как 2013. Т.к. для кодирования слов потребовалось всего 4 разные буквы, то коды будут представлены в четверичной системе счисления. Вычтем код слова “ПОСТ”  из кода слова “СТОП”  и получим следующее:

\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} 3120_4\\ 2013_4\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1101_4\\ \end{array} \end{array}\]

Разница номеров слов составляет \(1101_4 = 81_{10},\) а значит между ними ровно 80 слов (т.к. при вычитании номеров мы учитываем на одно слово больше).

Ответ: 80

Задание 2 #14849

Все 5-буквенные слова, в составе которых могут быть буквы А, С, Д, Р, Е, записаны в определённом порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка.

1. ААААА

2. ААААС

3. ААААД

4. ААААР

5. ААААЕ

6. АААСА

\(\dots\)

Сколько слов между словами “СРЕДА” и “АДРЕС”?

Исходя из порядка букв в списке, присвоим им следующие коды: А — 0, С — 1, Д — 2, Р — 3, Е — 4. Тогда первое слово — 00000, второе — 00001 и т.д. Слово “СРЕДА” будет кодироваться как 13420, а слово “АДРЕС”  будет кодироваться как 02341. Т.к. для кодирования слов потребовалось всего 5 разных букв, то коды будут представлены в пятеричной системе счисления. Вычтем код слова “АДРЕС”  из кода слова “СРЕДА”  и получим следующее:

\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} 13420_5\\ 2341_5\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 11024_5\\ \end{array} \end{array}\]

Разница номеров слов составляет \(11024_5 = 764_{10},\) а значит между ними ровно 763 слова (т.к. при вычитании номеров мы учитываем на одно слово больше).

Ответ: 763

Задание 3 #14850

Дима составляет 4-буквенные слова из букв П, И, К, С, Е, Л, Ь. Каждая из букв может встречаться в слове ровно один раз или не встречаться совсем. Сколько различных слов может составить Дима?

Первой буквой Дима может поставить любую из 7 букв, т.е. выбрать эту букву одним из семи способов. Второй буквой Дима может поставить любую из 6 оставшихся букв, т.е. выбрать её 6 способами, т.к. одна из допустимых букв уже использована. По той же логике, третью букву он может выбрать 5 способами, а четвёртую —- 4 способами. Всего Дима может составить \(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840\) различных слов.

Ответ: 840

Задание 4 #14851

Рома составляет 5-буквенные слова из букв М, А, С, И, В. Каждая из букв может встречаться в слове сколько угодно раз или не встречаться совсем, причём слово должно начинаться с буквы С. Сколько различных слов может составить Рома?

Первой буквой Рома ставит С, поставить её он может единственным способом. На любое из 4 оставшихся мест он может поставить любую из 5 букв, а значит на каждое из этих мест букву можно поставить 5 способами. Всего Рома может составить \(1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\) различных слов.

Ответ: 625

Задание 5 #14852

Кирилл составляет 6-буквенные слова из букв Р, Е, Ц, П, Т. Каждая из букв может встречаться в слове сколько угодно раз или не встречаться совсем. Сколько различных слов может составить Кирилл?

На любое из 6 мест Кирилл может поставить любую из 5 букв, а значит на каждое из этих мест букву можно поставить 5 способами. Всего Кирилл может составить \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 15625\) различных слов.

Ответ: 15625

Задание 6 #14853

Кадыр составляет 6-буквенные слова из букв К, О, М, П, И, Л, Я, Т, Р. Каждая из букв может встречаться в слове ровно один раз или не встречаться совсем, причём последней буквой слова должна быть Р. Сколько различных слов может составить Кадыр?

На последнее место Кадыр ставит букву Р, сделать это он может единственным способом. На первое место он ставит любую из 8 оставшихся букв, т.к. буква Р уже использована, и делает он это одним из 8 способов. На второе он ставит любую из 7 оставшихся, на третье — любую из 6 оставшихся, на четвертое — любую из 5 оставшихся, а на третье — любую из 4 оставшихся. Всего Кадыр может составить \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1 = 6720\) различных слов.

Ответ: 6720

Задание 7 #14857

Лиза составляет 5-буквенные слова из букв С, Е, Р, В. Каждая из букв может встречаться в слове сколько угодно раз или не встречаться совсем. Сколько различных слов может составить Лиза?

На каждое из 5 мест в слове Лиза ставит любую из 4 букв. Всего Лиза может составить \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024\) различных слова.

Ответ: 1024