Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

1. Системы счисления. Простейшие операции.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Другие системы счисления

Задание 1 #8336

Запишите число \(49_{16}\)в системе счисления с основанием 8. В ответ запишите только число.

Переведем двумя способами: 1) используя триады и тетрады и 2) через десятичную систему счисления.

1) Вспомним таблицу тетрад и триад:

Переведем с ее помощью \(49_{16}\)в двоичную систему счисления: из таблицы 4 – это 0100, а 9 – это 1001. Значит, \(49_{16}\)= 01001001. Разобьем это число на триады: то есть справа налево на тройки. Получим 001|001|001 (мы дополнили незначащим нулем число, чтобы в начале тоже получилась тройка).

Теперь переведем полученные тройки в восьмеричную систему счисления. Опять посмотрим на таблицу: в столбике триады видим, что 001 – это 1, значит, получаем 111. Итак, \(49_{16}\)= \(111_{8}.\)

2) Переведем число \(49_{16}\)в десятичную систему счисления. \(49_{16}=4*16^{1}+9*16^{0}=4*16+9=64+9=73.\)Теперь переведем \(73_{10}\)в восьмеричную систему счисления: можно делением на основание системы счисления, то есть 8,

а можно с помощью разложения на степени восьмерки: 73 = 1 \(\cdot\)\(8^2\)+ 1 \(\cdot\)\(8^1\)+ 1 \(\cdot\)\(8^0\)– тогда само число – это записанные подряд слева направа числа, на которые умножались степени восьмерки. Обоими способами получим, что \(73_{10}=111_{8}.\)

Ответ: 111

Задание 2 #8337

Вычислите значение выражения \(DF_{16}+15_{8}.\)Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Т.к. ответ нужно дать в десятиричной системе счисления, легче всего будет перевести оба числа в нее и сложить, но покажем и способ с переводом в шестнадцати- и восьмеричную системы и сложения в них.

1) Переведем \(DF_{16}\)и \(15_{8}\)в десятичную систему счисления.

\(DF_{16}=D*16+F=13*16+15=223, 15_{8}=1*8+5=8+5=13.\)Теперь сложим полученные числа: \(DF_{16}+15_{8}\)= 223 + 13 = 236.

2) С помощью таблицы тетрад и триад

переведем \(DF_{16}\)в восьмеричную систему счисления:

По таблице определяем, что D – это 1101, F – 1111 (т.к. переводим из шестнадцатиричной, смотрим на столбик тетрады), то есть \(DF_{16}\)= 11011111 (получили число в двоичной системе). Теперь разделим его на триады справа налево, добавив незначащий ноль слева, чтобы получить триаду (оставалось только два символа): 011|011|111. Посмотрим на столбик триады: получается, 011 – это 3, 111 – это 7. Значит, \(DF_{16}\)= \(337_{8}.\)

Теперь сложим в восьмеричной системе \(337_{8}\)и \(15_{8}:\)

(Мы складываем поразрядно и берем остаток от деления на 8, при этом переносим ”десятки”’, как при обычном сложении в десятичной системе: 7 + 5 = 12 – остаток от деления на 8 = 4, 12 > 8 – добавляем единицу к более старшему разряду, 3 + 1 = 4 – но добавляем единицу из предыдущего разряда? а следующая тройка остается без изменений).

Теперь переведем 54 из восьмеричной системы в десятичную: \(354_{8}\)= \(3 \cdot 8^2 + 5 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0\)= 236.

3) аналогично 2) переведем \(15_{8}\)в шестнадцатиричную систему (получим D – см. таблицу) и сложим с \(DF_{16}:\)

(Складываем поразрядно и берем остаток от деления на 16: F + D = 28, остаток от деления на 16 – 12, то есть C, лишнюю ”десятку” переносим в следующий разряд, то есть D становится E).

Переведем полученное в десятичную систему: \(EC_{16}\)= 14 * 16 + 12 * 16 = 236.

Ответ: 236

Задание 3 #8338

Вычислите сумму чисел \(32_{4},\ 32_{8},\ 32_{16},\ 1_{32}.\)В качестве ответа приведите количество единиц в двоичной записи полученной суммы.

Можем решить задачу двумя способами: перевести все числа в двоичную систему и сложить или перевести в десятичную, сложить и результат перевести в двоичную.

1) Переведем все числа в двоичную систему:

Начнем с простого: \(1_{32}\)– так и будет один в любой системе счисления, в том числе и в двоичной.

Теперь посмотрим на таблицу триад и тетрад:

Видим, что \(32_{16}\)(смотрим на соответствующие строчки (3 и 2) в тетрадах, т.к. переводим из шестнадцатиричной) в двоичной системе – это 00110010.

\(32_{8}\)переведем с помощью триад (т.к. восьмеричная система) – смотря на соответствующие строки, получим 011010.

Теперь переведем \(32_{4}.\)В таблице этого нет, но по аналогии 3 в двоичной системе – это 11, а 2 – 10. Значит, получим 1110.

Итак, все числа переведены: получили 1, 110010, 11010, 1110. Теперь сложим их.

Теперь посчитаем количество единиц. Ответ – 5.

2) Переведем все числа в десятичную систему счисления.
\(32_{4} = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \\32_{8} = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26 \\32_{16} = 3 \cdot 16 + 2 = 48 + 2 = 50 \\1_{32}=1.\)

Теперь сложим все числа: 14 + 26 + 50 + 1 = 91. Переведем 91 в двоичную систему счисления с помощью степеней двойки: 91 = \(1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0.\)Перепишем слева направо числа, на которые умножались степени двойки: 1011011 – это и есть 91 в двоичной системе счисления. Видим, что единиц здесь 5.

Ответ: 5

Задание 4 #8339

Найдите значение выражения \(29 + 12_{3} + 2001_{5}.\)Ответ запишите в семеричной системе счисления. Приведите только число.

Переведем все числа в десятичную систему счисления: \(12_{3} = 1 \cdot 3 + 2 = 5, 2001_{5} = 2 \cdot 5^{3} + 1 = 2 \cdot 125 + 1 = 250 + 1 = 251\)– и сложим: 251 + 5 + 29 = 285. Далее переведем 285 в семеричную систему счисления: 1) можем делением 285 на 7, 2) можем разложением на степени 7. Получаем, что \(285 = 555_{7}.\)

1)

2) 285 = \(5 \cdot 7^2 + 5 \cdot 7^1 + 5 \cdot 7^0\)– значит, в семеричной системе получаем 555 (переписываем слева направо числа, на которые умножаем степени 7).

Ответ: 555

Задание 5 #8340

Какое из чисел больше: \(40_{6}\)или \(43_{5}?\)В ответ запишите разность большего и меньшего числа. Ответ дайте в десятичной системе счисления.

Переведем оба числа в десятичную систему счисления.

\(40_{6} = 4 \cdot 6 + 0 = 24 + 0 = 24,\)\(43_{5} = 4 \cdot 5 + 3 = 23.\)

\(24 > 23 \Rightarrow 40_{6} > 43_{5}.\)Разность этих чисел равна \(24 - 23 = 1.\)

Ответ: 1

Задание 6 #8341

Пусть \(x = 49_{16} - 71_{8}.\)Найдите, чему равен \(y\), если \(y=x^2.\)В ответ запишите числовое значение \(y\) в десятичной системе счисления.

Посчитаем значение \(x\)в десятичной системе счисления. \(49_{16}= 4 \cdot 16 + 9 = 73, 71_{8} = 7 \cdot 8 + 1= 57.\)

Теперь из 73 вычтем 57. 73 - 57 = 16. Таким образом, \(x = 16.\)Соответственно, \(y\) = \(x^2\)= \(16^2\)= 256.

Ответ: 256

Задание 7 #8342

Сколько единиц в десятичной записи числа \(54373_{12}?\)В ответ запишите только число – количество единиц.

Переведем число \(54373_{12}\)в десятичную систему счисления.

\(54373_{12} = 5 \cdot 12^4 + 4 \cdot 12^3 + 3 \cdot 12^2 + 7 \cdot 12^1 + 3 \cdot 12^0 = 5 \cdot 20736 + 4 \cdot 1728 + 3 \cdot 144 + 7 \cdot 12 + 3 = 103680 + 6912 + 432 + 84 + 3 = 111111.\)

В числе 111111 6 единиц. Ответ – 6.

Ответ: 6