Сколько существует различных наборов значений логических переменных \(x_1, x_2, … x_6, y_1, y_2, … y_6,\) которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
\((x_1 \rightarrow (x_2 \wedge y_1)) \wedge (y_1 \rightarrow y_2) = 1\)
\((x_2 \rightarrow (x_3 \wedge y_2)) \wedge (y_2 \rightarrow y_3) = 1\)
...
\((x_5 \rightarrow (x_6 \wedge y_5)) \wedge (y_5 \rightarrow y_6) = 1\)
\(x_6 \rightarrow y_6 = 1\)
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных \(x_1, x_2, … x_6, y_1, y_2, … y_6,\) при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
(ЕГЭ 2017, Демонстрационная версия)
Поскольку уравнения однотипные и отличаются только сдвигом номеров переменных на единицу, то будем использовать метод отображения, применяя его к каждой последующей комбинации \(x_i,y_{i},i\in [1;6].\)
Также надо учитывать последнее уравнение, для которого не подходит только набор 1 0. Теперь найдем общее количество решений, подставляя в отображении соответствующие \(x,y,\) учитывая предыдущие значения:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &x_1y_1&x_2y_2&x_3y_3&x_4y_4&x_5y_5&x_6y_6\\ \hline 00&1&1&1&1&1&1\\ \hline 01&1&2&3&4&5&6\\ \hline 10&1&1&1&1&1&0\\ \hline 11&1&3&6&10&15&21\\ \hline \end{array}\]
Суммируем и получаем ответ: \(1+6+0+21=28.\)
Ответ: 28