Системы логических уравнений

Задание 1 #12817

Сколько существует различных наборов значений логических переменных \(x_1, x_2, … x_6, y_1, y_2, … y_6,\) которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
\((x_1 \rightarrow (x_2 \wedge y_1)) \wedge (y_1 \rightarrow y_2) = 1\)
\((x_2 \rightarrow (x_3 \wedge y_2)) \wedge (y_2 \rightarrow y_3) = 1\)
...
\((x_5 \rightarrow (x_6 \wedge y_5)) \wedge (y_5 \rightarrow y_6) = 1\)
\(x_6 \rightarrow y_6 = 1\)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных \(x_1, x_2, … x_6, y_1, y_2, … y_6,\) при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

(ЕГЭ 2017, Демонстрационная версия)

Показать решение

Поскольку уравнения однотипные и отличаются только сдвигом номеров переменных на единицу, то будем использовать метод отображения, применяя его к каждой последующей комбинации \(x_i,y_{i},i\in [1;6].\)

Также надо учитывать последнее уравнение, для которого не подходит только набор 1 0. Теперь найдем общее количество решений, подставляя в отображении соответствующие \(x,y,\) учитывая предыдущие значения:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &x_1y_1&x_2y_2&x_3y_3&x_4y_4&x_5y_5&x_6y_6\\ \hline 00&1&1&1&1&1&1\\ \hline 01&1&2&3&4&5&6\\ \hline 10&1&1&1&1&1&0\\ \hline 11&1&3&6&10&15&21\\ \hline \end{array}\]

Суммируем и получаем ответ: \(1+6+0+21=28.\)

Ответ: 28

Задание 2 #12818

Сколько существует различных наборов значений логических переменных \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10},\) которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям:
\(((x_1\rightarrow x_2)\rightarrow(x_3\rightarrow x_4)) \wedge ((x_3\rightarrow x_4)\rightarrow(x_5\rightarrow x_6))= 1\)
\(((x_5\rightarrow x_6)\rightarrow(x_7\rightarrow x_8)) \wedge ((x_7\rightarrow x_8)\rightarrow(x_9\rightarrow x_{10}))= 1\)
\(x_1\wedge x_3\wedge x_5\wedge x_7\wedge x_9= 1\)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10},\) при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

(ЕГЭ 2017, СтатГрад, 30 сентября 2016)

Показать решение

Чтобы выполнилось последнее уравнение, все \(x\) с нечётными номерами должны быть равны 1.
Перепишем нашу систему, заменяя такие \(x\) на 1 и разделяя каждую конъюнкцию на два уравнения:
\((x_1\rightarrow x_2)\rightarrow(x_3\rightarrow x_4)= 1\)
\((x_3\rightarrow x_4)\rightarrow(x_5\rightarrow x_6)= 1\)
\((x_5\rightarrow x_6)\rightarrow(x_7\rightarrow x_8)= 1\)
\((x_7\rightarrow x_8)\rightarrow(x_9\rightarrow x_{10})= 1\)
Поскольку уравнения однотипные и отличаются только сдвигом номеров переменных на два, то будем использовать метод отображения, применяя его к каждой последующей комбинации \(x_i,x_{i+1},i\in \{2, 4, 6, 8, 10\}.\)

Также можно заметить, что для таких пар при наборе 1 0 уравнения истинны не будут, так как внешняя импликация будет равна 0 . Теперь найдем общее количество решений, подставляя в отображении соответствующие \(x,\) учитывая предыдущие значения:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &x_2x_4&x_4x_6&x_6x_8&x_8x_{10}\\ \hline 00&1&1&1&1\\ \hline 01&1&1&1&1\\ \hline 11&1&2&3&4\\ \hline \end{array}\]

Суммируем и получаем ответ: \(1+1+4=6.\)

Ответ: 6

Задание 3 #12820

Сколько существует различных наборов значений логических переменных \(x_1, x_2,…, x_{10},\) которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
\(\neg (x_1 \equiv x_2) \equiv (x_3 \equiv x_4) = 1\)
\(\neg (x_3 \equiv x_4) \equiv (x_5 \equiv x_6) = 1\)
\(\neg (x_5 \equiv x_6) \equiv (x_7 \equiv x_8) = 1\)
\(\neg (x_7 \equiv x_8) \equiv (x_9 \equiv x_{10}) = 1\)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных \(x_1, x_2,…, x_{10},\) при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

(ЕГЭ 2019, Основная волна)

Показать решение

Поскольку уравнения однотипные и отличаются только сдвигом номеров переменных на два, то будем использовать метод отображения, применяя его к каждой последующей комбинации \(x_i,x_{i+1},i\in \{1, 3, 5, 7, 9\}.\)

Теперь найдем общее количество решений, подставляя в отображении соответствующие \(x,\) учитывая предыдущие значения:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &x_1x_2&x_3x_4&x_5x_6&x_7x_8&x_9x_{10}\\ \hline 00&1&2&4&8&16\\ \hline 01&1&2&4&8&16\\ \hline 10&1&2&4&8&16\\ \hline 11&1&2&4&8&16\\ \hline \end{array}\]

Суммируем и получаем ответ: \(16+16+16+16=64.\)

Ответ: 64

Задание 4 #12837

Сколько существует различных наборов значений логических переменных \(x_1, x_2, ..., x_8, y_1, y_2, ..., y_8,\) которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
\((x_1\wedge y_1)\equiv (\neg x_2\vee \neg y_2 )\)
\((x_2\wedge y_2)\equiv (\neg x_3\vee \neg y_3 )\)
...
\((x_7\wedge y_7)\equiv (\neg x_8\vee \neg y_8 )\)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных \(x_1, x_2, ..., x_8, y_1, y_2, ..., y_8,\) при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

(ЕГЭ 2019, Досрочная волна)

Показать решение

Поскольку уравнения однотипные и отличаются только сдвигом номеров переменных на единицу, то будем использовать метод отображения, применяя его к каждой последующей комбинации \(x_i,y_{i},i\in [1;8].\)

Теперь найдем общее количество решений, подставляя в отображении соответствующие \(x,\) учитывая предыдущие значения:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &x_1y_1&x_2y_2&x_3y_3&x_4y_4&x_5y_5&x_6y_6&x_7y_7&x_8y_8\\ \hline 00&1&1&3&3&9&9&27&27\\ \hline 01&1&1&3&3&9&9&27&27\\ \hline 10&1&1&3&3&9&9&27&27\\ \hline 11&1&3&3&9&9&27&27&81\\ \hline \end{array}\]

Суммируем и получаем ответ: \(27+27+27+81=162.\)

Ответ: 162

Задание 5 #10835

Сколько существует различных наборов значений \(x_1, x_2, ... x_{10}\), которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

\((x_1 \wedge x_2) \rightarrow (x_3 \wedge x_4)=1\)

\((x_3 \wedge x_4) \rightarrow (x_5 \wedge x_6)=1\)

\((x_5 \wedge x_6) \rightarrow (x_7 \wedge x_8)=1\)

\((x_7 \wedge x_8) \rightarrow (x_9 \wedge x_{10})=1\)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных \(x_1, x_2, ... x_{10}\), при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Показать решение

Внешняя операция в отдельно взятом уравнении — это импликация, в результате которой должна быть истина. Импликация будет истинна, если:

\(0 \rightarrow 1\)

\(0 \rightarrow 0\)

\(1 \rightarrow 1\)

Если скобка \((x_1 \wedge x_2)=1\) \((x_1=1 , x_2=1)\), то для скобки \((x_3 \wedge x_4)\) возможен только вариант \((x_3=1, x_4=1)\), при любых других конъюнкция будет равна 0.

Если \((x_1 \wedge x_2)=0\) (это возможно в следующих случаях \(x_1=0, x_2=1; x_1=1, x_2=0; x_1=0, x_2=0)\), то для скобки \((x_3 \wedge x_4)\) возможны любые значения, импликация этих скобок будет истинна. Поскольку уравнения однотипные и отличаются только сдвигом номеров переменных на единицу, то будем использовать метод отображения, применяя его к каждой последующей комбинации \(x_{i},x_{i+1}, i \in [1; 9]\).

Теперь найдем общее количество решений, подставляя в отображении соответствующие x, учитывая предыдущие значения:

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & x_1 \wedge x_2 & x_3 \wedge x_4 & x_5 \wedge x_6 & x_7 \wedge x_8 & x_9 \wedge x_{10}\\ \hline 00 & 1 & 3 & 9 & 27 & 81\\ \hline 01 & 1 & 3 & 9 & 27 & 81\\ \hline 10 & 1 & 3 & 9 & 27 & 81\\ \hline 11 & 1 & 4 & 13 & 40 & 121\\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & x_1 \wedge x_2 & x_3 \wedge x_4 & x_5 \wedge x_6 & x_7 \wedge x_8 & x_9 \wedge x_{10}\\ \hline 00 & 1 & 1+1+1 & 3+3+3 & 9+9+9 & 27+27+27\\ \hline 01 & 1 & 1+1+1 & 3+3+3 & 9+9+9 & 27+27+27 \\ \hline 10 & 1 & 1+1+1 & 3+3+3 & 9+9+9 & 27+27+27\\ \hline 11 & 1 & 1+1+1+1 & 3+3+3+4 & 9+9+9+13 & 27+27+27+40\\ \hline \end{array}\)

В итоге получаем: \(81+81+81+121=364\).

Ответ: 364

Задание 6 #10837

Сколько существует различных наборов значений \(x_1, x_2, ...x_{10}\), которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

\((x_1 \wedge x_2) \rightarrow (x_3 \vee x_4)=1\)

\((x_3 \wedge x_4) \rightarrow (x_5 \vee x_6)=1\)

\((x_5 \wedge x_6) \rightarrow (x_7 \vee x_8)=1\)

\((x_7 \wedge x_8) \rightarrow (x_9 \vee x_{10})=1\)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных \(x_1, x_2, ... x_{10}\), при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Показать решение

Внешняя операция в отдельно взятом уравнении — это импликация, в результате которой должна быть истина. Импликация истинна, если:

\(0 \rightarrow 1\)

\(0 \rightarrow 0\)

\(1 \rightarrow 1\)

Если скобка \((x_1 \wedge x_2)=1\) (это верно в таких случаях \(x_1=1 , x_2=1)\), то для скобки \((x_3 \wedge x_4)\) возможны только варианты \((x_3=0 , x_4=1; x_3=1 , x_4=0; x_3=0 , x_4=0)\), при \((x_3=0 , x_4=0)\) \((x_3 \vee x_4)=0\) импликация становится равна 0.

Если \((x_1 \wedge x_2)=0\) (это верно в таких случаях \(x_1=0 , x_2=1; x_1=1 , x_2=0; x_1=0 , x_2=0)\), то для скобки \((x_3 \wedge x_4)\) возможны любые значения, импликация этих скобок будет истинна. Поскольку уравнения однотипные и отличаются только сдвигом номеров переменных на единицу, то будем использовать метод отображения, применяя его к каждой последующей комбинации \(x_{i},x_{i+1}, i \in [1; 9]\).

Теперь найдем общее количество решений, подставляя в отображении соответствующие x, учитывая предыдущие значения:

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & x_1 \wedge x_2 & x_3 \wedge x_4 & x_5 \wedge x_6 & x_7 \wedge x_8 & x_9 \wedge x_{10}\\ \hline 00 & 1 & 3 & 11 & 41 & 153\\ \hline 01 & 1 & 4 & 15 & 56 & 209\\ \hline 10 & 1 & 4 & 15 & 56 & 209\\ \hline 11& 1 & 4 & 15 & 56 & 209\\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & x_1 \wedge x_2 & x_3 \wedge x_4 & x_5 \wedge x_6 & x_7 \wedge x_8 & x_9 \wedge x_{10}\\ \hline 00 & 1 & 1+1+1+1 & 3+4+4 & 15+15+11 & 41+56+56\\ \hline 01 & 1 & 1+1+1+1 & 3+4+4+4 & 15+15+15+11 & 41+56+56+56\\ \hline 10 & 1 & 1+1+1+1 & 3+4+4+4 & 15+15+15+11 & 41+56+56+56\\ \hline 11 & 1 & 1+1+1+1 & 3+4+4+4 & 15+15+15+11 & 41+56+56+56\\ \hline \end{array}\)

В итоге получаем: \(153+209+209+209=780\).

Ответ: 780