Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

2. Таблицы истинности

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Простейшие логические выражения

Задание 1 #14592

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((z \equiv y) \vee (x \wedge y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Дизъюнкция ложна в случае, когда обе скобки будут ложными. А это значит, что \(z, \; y\) будут иметь разные значения. Посмотрев на первую и третью строчки мы поймём, что эти переменные не могут занимать второй и третий столбец, первый и второй. Исходя из этого получим, что \(x\) занимает второй столбец.

2. Посмотрим на третью строчку. В ней \(x = 1,\) а это значит, что \(y = 0\) в этой строке, чтобы конъюнкция во второй скобке была ложной. Получается, что в третьей ячейке третьей строки находится 0. И этот столбец занят переменной \(y.\) А первый столбец отводится под переменную \(z.\)

Ответ: zxy

Задание 2 #14593

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \rightarrow \overline y) \rightarrow (\overline x \equiv \overline z)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Импликация ложна в случае, когда первая скобка будет истинной, а вторая скобка будет ложной. Вторая скобка ложна в случае, когда переменные \(x, \; z\) имеют разные значения. Из первой и третьей строчек мы можем сделать вывод о том, что эти переменные не могут занимать второй и третий, первый и второй столбцы. Следовательно, \(y\) занимает второй столбец. Рассмотрим вторую строку, в ней \(y = 1.\) Так как \((x \rightarrow \overline y) = 1,\) то \(x = 0.\) Значит \(x\) занимает третий столбец, а \(z\) занимает первый.

Ответ: zyx

Задание 3 #14594

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((z \equiv x) \vee (\overline y \wedge x)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{0} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \text{???} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. \(F = 0\) тогда, когда дизъюнкция ложна, а ложна она в случае, когда обе скобки ложны. Значит \(z, \; x\) имеют разные значения. Предположим, что \(x\) занимает третий столбец. Обратимся к первой строке. Но тогда конъюнкция во второй скобке истинна, что делает \(F = 1.\) Если \(y\) занимает третий столбец, то \(z = x = 0,\) что также делает \(F = 1.\) Следовательно, третий столбец занят переменной \(z.\)

2. Обратимся к третьей строке, в ней \(z = 0,\) значит, \(x = 1.\) Тогда \(y = 1.\)

3. Теперь обратимся ко второй строчке. Предположим, что в ней \(z = 0.\) Тогда \(x = 1,\) а значит, занимает второй столбец. Но тогда \(y = 1,\) что не подходит для второй строки. Значит в ней \(z = 1.\) Тогда \(x = 0,\) а значит, \(y = 0,\) либо \(y = 1.\) В первом случае строка совпадет с первой строкой, значит подойдёт второй вариант. Таким образом, \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает первый.

Ответ: xyz

Задание 4 #14595

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((z \equiv y) \equiv (\overline y \vee \overline x)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & ??? & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Эквивалентность ложна тогда, когда одна скобка истинна, а вторая ложна. Рассмотрим третью строчку фрагмента таблицы истинности. Предположим, что второй столбец занимает переменная \(x,\) тогда первая и вторая скобки истинны, а значит, \(F = 1.\) Предположим, что второй столбец занят переменной \(z.\) В таком случае первая и вторая скобка ложны, а значит, \(F = 1.\) Следовательно, во втором столбце находится переменная \(y.\)

2. Рассмотрим первую строку таблицы истинности. Предположим, что переменные принимают значение 0, но тогда \(F = 1.\) Значит в третьей ячейке первой строки находится 1. В этой строке \(y\) принимает значение 0. Если \(x = 1, \; z = 0,\) то первая скобка примет значение 1, вторая тоже значение 1, а значит, эквивалентность будет истинна. Значит третий столбец занимает переменная \(z,\) а первый столбец переменная \(x.\) При таком расположении переменных \(F = 0.\)

Ответ: xyz

Задание 5 #14596

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(\overline{(z \vee (\overline x \wedge y))}\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Рассмотрим, когда \((z \vee (\overline x \wedge y)) = 0.\) Тогда отрицание этого выражения примет значение 1. Для выполнения этого условия \(z = 0.\) Следовательно, переменная \(z\) занимает второй столбец. Конъюнкция во второй скобке также должна быть ложной. Она будет истинной в том случае, когда \(x = 0, \; y = 1.\) Посмотрев на вторую строку, мы поймём, что для ложности конъюнкции \(y = 0, \; x = 1.\) А значит, первый столбец занимает \(x,\) а третий занимает переменная \(y.\)

Ответ: xzy

Задание 6 #14597

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((y \equiv z) \vee (\overline y \wedge x)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & ??? & 0 \\ \hline \text{0} & 0 & ??? & 0 \\ \hline \text{???} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Дизъюнкция ложна тогда, когда эквивалентность в первой скобке и конъюнкция во второй будут ложными. Эквивалентность будет ложной тогда, когда переменные \(y, \; z\) будут иметь разные значения. Обратясь к фрагменту таблицы истинности, мы поймём, что эти переменные не могут занимать первый и второй столбец, второй и третий. Следовательно, под второй столбец отводится место для переменной \(x.\)

2.Обратимся к третьей строке. Так как переменные \(y, \; z\) принимают разные значения, а второй столбец занят переменной \(x,\) то в первой ячейке находится 0. Также \(x = 1,\) а значит, для ложности конъюнкции во второй скобки \(y = 1.\) Отсюда следует, что \(y\) занимает третий столбец, а \(z\) занимает первый.

Ответ: zxy

Задание 7 #14598

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((\overline x \rightarrow \overline y) \wedge \overline{(z \rightarrow y)}\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Конъюнкция истинна, когда обе скодки будут истинны. Во второй скобке представлено отрицание, а это означает, что \((z \rightarrow y) = 0.\) Для этого \(z = 1, \; y = 0.\) Тогда в первой скобке, так как \(y = 0,\) переменная \(x\) может быть равна как 0, так и 1. Из всего этого мы получаем, что \(x\) занимает второй столбец, \(y\) занимает третий, а \(z\) занимает первый.

Ответ: zxy