Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

2. Таблицы истинности

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Простейшие логические выражения

Задание 1 #10001

Логическая функция \(F\) задаётся выражением \((\overline x \vee y) \wedge z.\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\) Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x,\)\(y,\)\(z.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Во всех строках приведенного фрагмента таблицы истинности \(F = 1.\) Чтобы конъюнкция была истинна, \(z\) всегда должна равняться единице (так как конъюнкция будет истинна, если истинны все высказывания, входящие в нее). Этому условию соответствует только второй столбец, т.к. в других присутствует ноль.

Рассмотрим \(\overline x \vee y.\) Это высказывание тоже должно быть истинным. Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний, входящих в нее, истинно. Значит, мы не должны допускать ситуации, когда \(\overline x \; = 0\) (или \(x = 1)\) и \(y = 0\) одновременно. Рассмотрим первый и третий столбец первой строки. Если \(x\) отвечает за 1 столбец, а \(y\) за третий, то \(\overline 1 \vee 0 \; = \; 0.\) Этот вариант не подходит, так как дизъюнкция будет ложной. Тогда остается только один вариант: \(y\) отвечает за 1 столбец, а \(x\) за третий, получаем \(\overline 0 \vee 1 \; = \; 1.\)

Проверим наше предположение на двух оставшихся строчках.

Рассмотрим вторую строчку. \(\overline 0 \vee 0 \; = \; 1.\) Дизъюнкция будет истинной.

Рассмотрим третью строчку. \(\overline 1 \vee 1 \; = \; 1.\) Дизъюнкция будет истинной. Таким образом, \(x\)отвечает за третий столбец, а \(y\)— за первый.

Ответ: yzx

Задание 2 #10002

Логическая функция \(F\) задаётся выражением \((z \wedge \overline x) \rightarrow \overline{(\overline y \vee z)}.\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\) Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x,\)\(y,\)\(z.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Во всех трех строках \(F = 0.\) Импликация ложна, если из истины следует ложь. Значит, \(z \wedge \overline x = 1\) и \(\overline y \vee z = 0.\) Конъюнкция истинна, если все высказывания, входящие в нее, истинны, то есть \(z = 1\) и \(\overline x = 1,\) то есть \(x = 0.\)

Рассмотрим \((\overline{\overline y \vee z}).\) Это выражение должно быть ложно, значит дизъюнкция \(\overline y \vee z\) должна быть истинна. Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний, входящих в нее, истинно. Так как \(z = 1,\) то \(y\) может быть любым.

Так как \(z = 1,\) то первому столбцу соответствует \(z.\) Так как \(x = 0,\) то третьему столбцу соответствует \(x.\) Так как \(y\) может быть любым, то второму столбцу соответствует \(y.\)

Ответ: zyx

Задание 3 #10003

Логическая функция \(F\) задаётся выражением \((\overline{\overline x} \vee \overline w) \; \wedge z.\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\) Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x,\)\(w,\)\(z.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

\(\overline {\overline x},\) так как если \(x = 0,\) то \(\overline x = 1,\)\(\overline {\overline x} = \overline 1 = 0 = x,\) а если \(x = 1,\) то \(\overline x = 0,\) а \(\overline {\overline x} = \overline 0 = 1 = x.\)

Тогда функция переписывается в таком виде: \(F = (x \vee \overline w) \wedge z.\) Во всех трех столбцах \(F = 1.\) Так как конъюнкция истинна, если все высказывания, входящие в нее, истинны, то \(x \vee \overline w = 1\) и \(z = 1.\) Тогда первый столбик — это \(z.\)

Рассмотрим высказывание \(x \vee \overline w.\) Оно истинно, когда \(x = 1\) и/или \(\overline w = 1,\) то есть \(w = 0\) (так как дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно высказывание, входящее в нее, истинно). Рассмотрим третью строку. Как мы определили выше, первый столбец отвечает за \(z.\) Если второй — это \(x,\) то \(w\) должна быть равна 1 (так как \(0 \vee \overline w = 1,\) если \(\overline w = 1,\) то есть \(w = 0).\) Но переменная в третьем столбце равна 1, значит, предположение, что второй столбец — это \(x,\) было неверным. Значит, второй столбец — это \(w,\) а третий — это \(x.\)

Проверим это предположение на первой и второй строчках. Подставим соответствующие значения в функцию. Первая строка: \(F = (1 \vee \overline 0) \wedge 1 = 1 \wedge 1 = 1.\) Вторая строка: \(F = (0 \vee \overline 0) \wedge 1 = (0 \vee 1) \wedge 1 = 1 \wedge 1 = 1.\) Все верно.

Ответ: zwx

Задание 4 #10004

Логическая функция \(F\) задаётся выражением \((y \rightarrow z) \; \wedge \; \overline x.\) Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая из переменных \(x,\)\(y,\)\(z.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline {\tiny } ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Так как конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все высказывания, входящие в нее, истинны, то \((y \rightarrow z)\) и \(\overline x\) должны быть одновременно истинны. Если \(\overline x = 1,\) то \(x = 0.\) В таком случае \(x\) соответствует второй столбец (так как только в нем нет ни одной единицы).

Рассмотрим \((y \rightarrow z).\) Нам нужно, чтобы данная импликация была истинна. Легче исключить один случай, когда импликация ложна, так как она ложна тогда и только тогда, когда из истины следует ложь, то есть когда \(y = 1,\) a \(z = 0.\) Рассмотрим вторую строку. Видим, что переменная \(y\) не может соответствовать третьему столбцу, так как тогда \(y = 1,\)\(z = 0\) и \(y \rightarrow z = 1 \rightarrow 0,\)\(F = 0.\) Получается, третьему столбцу соответствует \(z,\) а первому — \(y.\)

Ответ: yxz

Задание 5 #10005

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge \overline z) \vee (\overline z \wedge x)\)

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая из переменных \(x, y, z.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

1. Упростим \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y).\)

По закону диструбитивности \((y \wedge x) \vee (x \wedge \overline y)\) = \( x \wedge (y \vee \overline y).\)\(y \vee \overline y = 1\) (если \(y = 0,\) то \(\overline y \vee y = 1 \vee 0 = 1,\) если \(y = 1,\) то \(\overline y \vee y = 0 \vee 1 = 1).\) Тогда \( x \wedge (y \vee \overline y) = x \wedge 1 = x.\)

2. Упростим \((y\wedge \overline z) \vee (\overline z \wedge x).\) По закону дистрибутивности \((y\wedge \overline z) \vee (\overline z \wedge x) = \overline z \wedge (y \vee x).\)

3. Получим: \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge \overline z) \vee (\overline z \wedge x) = x \vee (\overline z \wedge (y \vee x)).\)

4. Рассмотрим таблицу истинности. Чтобы значение функции \(F\) было равно 0, \(x = 0\) (ведь дизъюнкция ложна, если ложны все входящие в нее высказывания) и \(\overline z \wedge (y \vee x) = 0.\) Тогда второму столбцу соответствует \(x\) (это единственный столбец, в котором все нули при \(F = 1).\) Теперь рассмотрим случай, когда \(F = 1.\) Хотя бы одно из выражений, входящих в дизъюнкцию, должно быть истинно. Во второй строке (где функция истинна) таблицы истинности \(x = 0,\) значит, \(\overline z \wedge (y \vee x) = 1.\) Конъюнкция истинна, если истинны все высказывания, входящие в нее, то есть \(\overline z = 1\) и \(y \vee x = 1\) одновременно, \(z = 0\) и \(y = 1.\) При \((x, \; y, \; z)\) = (0, 1, 0) \(F = 1.\) Во второй строке таблицы истинности из условия содержатся два нуля и одна единица. Значит, третьему столбцу соответствует \(y\) (так как там есть единица), а первому — \(z.\)

Ответ: zxy

Задание 6 #12821

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(\overline{z} \vee x \wedge \overline{y}.\)

На рисунке приведен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий все наборы аргументов, при которых функция \(F\) истинна.

\(\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Перем. 1} & \text{Перем. 2} & \text{Перем. 3} & \text{Функция} \\ \hline ??? & ??? & ??? & F \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\)

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая из переменных \(x, \; y, \; z.\)

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение \(x \to y,\) зависящее от двух переменных \(x\) и \(y,\) и таблица истинности:

\(\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Перем. 1} & \text{Перем. 2} & \text{Функция} \\ \hline ??? & ??? & F \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\)

Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная \(y,\) а второму столбцу — переменная \(x.\) В ответе следовало бы написать: \(yx.\)

Составим таблицу истинности.

\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline x&y&z&\overline{z}&\overline{y}&x\wedge\overline{y}&\overline{z}\vee x\wedge \overline{y}\\ \hline 0&0&0&1&1&0&1\\ \hline 0&0&1&0&1&0&0\\ \hline 0&1&0&1&0&0&1\\ \hline 0&1&1&0&0&0&0\\ \hline 1&0&0&1&1&1&1\\ \hline 1&0&1&0&1&1&1\\ \hline 1&1&0&1&0&0&1\\ \hline 1&1&1&0&0&0&0\\ \hline \end{array}\)

Выпишем отдельно те строки, которые нам подходят:

\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline x&y&z&\overline{z}&\overline{y}&x\wedge\overline{y}&\overline{z}\vee x\wedge \overline{y}\\ \hline 0&0&0&1&1&0&1\\ \hline 0&1&0&1&0&0&1\\ \hline 1&0&0&1&1&1&1\\ \hline 1&0&1&0&1&1&1\\ \hline 1&1&0&1&0&0&1\\ \hline \end{array}\)

У нас есть две строки, где только одна единица. В роли этих единиц выступают \(x, \; y.\) Значит, третья переменная — это \(z.\)

Рассмотрим третью строку. \(z = 1.\) А такая строка у нас только одна. Отсюда однозначно определяем столбцы и пишем в ответ: \(xyz.\)

Ответ: xyz

Задание 7 #10006

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((\overline y \rightarrow (x \rightarrow (y \rightarrow z))) \wedge (\overline x \vee z) \)

На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий наборы аргументов, при которых функция \(F\) ложна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая из переменных \(x, y, z.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

1. Так как \(a \rightarrow b = \overline a \vee b,\) преобразуем левую часть функции:

\((\overline y \rightarrow (x \rightarrow (y \rightarrow z))) = y \vee (x \rightarrow (y \rightarrow z)) = y \vee \overline x \vee (y \rightarrow z) = y \vee \overline x \vee \overline y \vee z. \)

2. \(y \vee \overline y = 1,\) так как, если \(y = 1,\) то \(y \vee \overline y = 1 \vee 0 = 1,\) если \(y = 0,\) то \(y \vee \overline y = 0 \vee 1 = 1.\)

3. После преобразований функция выглядит так: \((\overline x \; \vee \; z \; \vee \; 1) \; \wedge \; (\overline x \; \vee \; z).\) Так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в нее, то \( (\overline x \vee z \vee 1) = 1\) при любых значениях \(x\) и \(z.\) Чтобы функция была равна \(0,\)\((\overline x \; \vee \; z)\) должно быть равно 0 (так как конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, входящих в нее). Значит, \(\overline x = 0\) и \(z = 0\) (так как дизъюнкция ложна, если ложны все входящие в нее высказывания). Тогда \(x = 1,\)\(z = 0.\) Тогда \(x\) соответствует второму столбцу, \(z\) соответствует третьему, а \(y\) соответствует первому столбцу (переменная \(y\) может быть любой, так как в упрощенной формуле переменная \(у\) отсутствует, значит, не влияет на ответ).

Ответ: yxz