Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

2. Таблицы истинности

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные логические выражения

Задание 1 #14609

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((\overline x \vee y \vee \overline z) \wedge (\overline x \equiv (\overline y \vee z))\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Конъюнкция истинна, когда обе скобки будут истинны. Обратим внимание на вторую и третью строчки. Они примечательны тем, что в них \(F = 1\) тогда, когда две переменные принимают значение 1, а третья переменная значение 0. Заметим, что если \(y = 0, \; z = 1, \; x = 1,\) то \(F = 0,\) так как первая скобка будет ложной. Используя вторую и третью строчки, мы поймём, что \(y\) не может занимать первый и второй столбец, следовательно, \(y\) занимает третий столбец.

2. Обратимся к первой строчке. В ней \(y = 0.\) Следовательно, \((\overline y \vee z) = 1.\) В таком случае \(x = 0\) для истинности эквивалентности. Значит, \(x\) занимает первый столбец, а \(z\) занимает второй.

Ответ: xzy

Задание 2 #14610

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \equiv (\overline y \vee z)) \rightarrow (x \wedge y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Импликация будет ложна, когда первая скобка будет истинна, а вторая будет ложна. Рассмотрим третью строчку. Предположим, что \(x\) занимает третий столбец. Но тогда первая скобка будет ложной, а значит, импликация будет истинной. Если \(z\) занимает третий столбец, то аналогично первая скобка будет ложной, и, как следствие, импликация будет истинной. Значит, можно убедиться в том, что \(y\) занимает третий столбец в данном фрагменте таблицы истинности.

2. Обратимся ко второй строке. Рассмотрим два варианта: когда \(x = 1, \; z = 0,\) и вариант, когда \(x = 0, \; z = 1.\) Во втором случае первая скобка будет ложной, а значит, импликация будет истинной. Из этого можно сделать вывод, что подойдёт первый вариант, \(x\) будет занимать первый столбец, а \(z\) занимать второй.

Ответ: xzy

Задание 3 #14611

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \vee y) \wedge (z \rightarrow (\overline x \wedge y))\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Для того, чтобы \(F = 0,\) конъюнкция должна быть ложной. Рассмотрим первую строчку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. Тогда \((z \rightarrow (\overline x \wedge y)) = 1, \; (x \vee y) = 1,\) а это значит, что \(F = 1.\) Если \(y\) занимает первый столбец, то конъюнкция будет также истинна. Следовательно, первый столбец занимает переменная \(z.\)

2. Рассмотрим вторую строчку. Если \(x\) занимает второй столбец, а \(y\) третий, то обе скобки будут истинны, а значит, и конъюнкция будет истинна. Значит, \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает третий столбец.

Ответ: zyx

Задание 4 #14612

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((z \equiv x) \vee ((z \vee y) \rightarrow x)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Рассмотрим первую строчку данного фрагмента. Предположим, что все переменные принимают значение 0, следовательно, \((z \equiv x) = 1,\) а значит, \(F = 1.\) Значит все переменные не могут быть равны 0. То есть во второй ячейке первой строки находится 1. Заметим, что для \(F = 0\) переменные \(z, \; x\) должны принимать разные значения. Значит во второй ячейке первой строки находится одна из этих переменных. Предположим, что это место занимает \(x.\) Однако тогда импликация во второй скобке будет истинной, а значит, и вся дизъюнкция будет истинной. Следовательно, второй столбец занят переменной \(z.\)

2. Рассмотрим вторую строчку. Если третью ячейку этой строки занимает 0, то вторую ячейку должна занять 1, а значит, строчка совпадет со второй строкой. Значит третью ячейку занимает 1. Две другие ячейке не могут быть одновременно нулями, следовательно, вторую ячейку занимает 1. Предположим, что в первом столбце \(y.\) Но мы поняли, что \(z\) и \(x\) должны принимать равные значения (а в данном случае обе переменные равны 1). Следовательно, первый столбец занимает \(x,\) а третий столбец занимает \(y.\)

Ответ: xzy

Задание 5 #14613

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \wedge y) \equiv (\overline z \equiv x) \)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Рассмотрим вторую строку фрагмента таблицы истинности. Предположим, что \(y\) занимает третий столбец. Тогда \((x \wedge y) = 0, \; (\overline z \equiv x) = 0,\) а значит, \(F = 1.\) Если \(z\) занимает третий столбец, то эквивалентность будет истинна, так как обе скобки будут истинными. Следовательно, третий столбец занимает переменная \(x.\)

2. Используем первую строку: \(x = 0\) в ней. Значит, первая скобка будет принимать значение 0. Тогда для того, чтобы эквивалентность была ложной, надо, чтобы вторая скобка была истинна. Это будет достигнуто, если \(z = 1.\) Следовательно, переменная \(z\) занимает первый столбец, а \(y\) занимает второй.

Ответ: zyx

Задание 6 #14614

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(z \wedge \overline {(y \equiv z)} \wedge (y \rightarrow x)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) истинна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 1 & ??? & 1 \\ \hline \text{???} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Для истинности выражения \(z = 1.\) Этому будет удовлетворять только первый столбец, так как в остальных присутствует 0.

2. Для истинности второй скобки переменные \(y, \; z\) должны быть представлены разными значениями. Для этого рассмотрим первую строчку. Раз в ней \(z = 1,\) то \(y = 0.\) А это значит, что третья ячейка равна 0, а также третий столбец занимает переменная \(y.\) Значит второй столбец занят переменной \(x.\)

Ответ: zxy

Задание 7 #14615

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(((\overline y \vee \overline x) \equiv z) \wedge (x \rightarrow y) \)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

1. Заметим, что конъюнкция истинна будет истинна, если каждая из скобок будет истинной. Обратим внимание на первую строку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. В таком случае \(y = 0,\) а значит, импликация во второй скобке будет ложной. Если \(y\) занимает первый столбец эквивалентность в первой скобке будет истинной. Следовательно, первый столбец занят переменной \(z.\)

2. Обратим внимание на вторую строчку. Заметим, что если \(x = 1, \; y = 0,\) то импликация во второй скобке будет ложной. Это означает, что тертий столбец может занимать переменная \(y\), а второй столбец занимать переменная \(x.\)

Ответ: zxy