Сложные логические выражения

Функция \(F\) истинна в том случае, когда одна из скобок будет истинна. Рассмотрим, когда истинна третья скобка. Она истинна в случае \(x = 1, \; y = 0, \; z = 0, \; w = 0.\) Данный набор переменных соответствует первой строке фрагмента таблицы истинности. Получается, что переменная \(x\) занимает третий столбец. Теперь рассмотрим вторую скобку. Она истинна в случае \(x = 1, \; y = 1, \; z = 1, \; w = 0.\) Этот набор соответствует третьей строке. Получим, что \(w\) занимает первый столбец. Теперь обратимся к первой скобке. Она истинна тогда, когда \(x = 1, \; y = 1, \; w = 0.\) Следовательно, \(y\) занимает четвёртый столбец (исходя из второй строки фрагмента таблицы истинности). А для \(z\) остаётся второй столбец.

Ответ: wzxy

1. Для ложности функции \(F\) переменная \(x\) должна принимать значение 1. Следовательно, данная переменная занимает второй столбец.

2. Рассмотрим четвёртую строку. Предположим, что \(z\) занимает третий столбец. В таком случае импликация и дизъюнкция будут истинны, а значит, конъюнкция будет истинна. Если \(w\) занимает третий столбец, то конъюнкция будет так же истинна. Если же \(y\) занимает третий столбец, то импликация будет ложной, а значит, и конъюнкция будет ложной. Тогда \(y\) занимает третий столбец.

3. Рассмотрим вторую строчку. В ней \(y\) принимает значение 0. Если \(z\) занимает четвёртый столбец, то дизъюнкция и импликация будут истинны, а значит, конъюнкция будет истинна. Следовательно, \(z\) занимает первый столбец, а переменная \(w\) занимает четвёртый.

Ответ: zxyw

Для ложности функции \(F\) каждая из скобок должна быть ложной. Первая скобка ложна в случае, если \(x = 0, \; (y \vee z) = 1.\) Следовательно, переменная \(x\) занимает третий столбец. Так как \(x\) принимает значение 0, то \(y\) должен принимать значение 1, чтобы эквивалентность была ложной. Тогда ячейки во втором столбцы будут содержать единицы, а сам столбец принадлежит переменной \(y.\) Тогда для переменной \(z\) остаётся первый столбец.

Ответ: zyx

1. Конъюнкция истинна тогда, когда каждая скобка будет истинной. Рассмотрим вторую скобку. Она истинна тогда, когда \(y, \; z\) имеют разные значения. Следовательно, эти переменные не могут занимать первый и третий, второй и третий столбцы (так как есть строки, в которых переменные имеют одинаковые значения). Это означает, что под переменные \(y, \; z\) отводится первый и второй столбец, а переменная \(x\) занимает третий.

2. Рассмотрим первую строку. В ней \(x\) принимает значение 0. Тогда для того, чтобы дизъюнкция в третьей скобке была истинной, надо, чтобы \(y\) принимало значение 1. Следовательно, переменная \(y\) занимает второй столбец. Тогда переменная \(z\) занимает первый.

Ответ: zyx

1. Для истинности конъюнкции \(w = 1.\) Подходящим столбцом может стать только первый.

2. Рассмотрим теперь отрицание эквивалентности. Для того, что функция была истинной, эквивалентность должна быть ложной (так как используется отрицание). Следовательно, переменные \(x, \; z\) должны прнимать разные значения. Обратимся к фрагменту таблицы истинности. Переменные не могут занимать второй и третий, третий и четвёртый столбцы (так как существуют строки, в которых переменные принимают одинаковое значение). Значит \(x, \; z\) занимают второй и четвёртый столбец, а под \(y\) отводится третий столбец.

3. Как мы уже поняли, \(x,\; z\) имеют разные значения. Получается, что во второй ячейке второй строки находится 1, в четвёртой ячейке третьей строки также находится 1. В третьей ячейке второй строки находится тоже 1 (иначе строка совпала бы с первой). Также во второй строке \(y = 1.\) А так как (\(\overline x \vee \overline y) = 1,\) то \(x = 0.\) Следовательно, \(x\) занимает четвёртый столбец, а переменная \(z\) занимает второй.

Ответ: wzyx

1. Рассмотрим скобку с конъюнкцией. Для её истинности \(x = 1, \; y = 0.\) В таком случае и первая скобка с двумя импликациями должна быть истинна. Для этого \(z = 0.\) Теперь рассмотрим, когда первая скобка будет ложна. Она ложна, если \(z = 1, \; (x \rightarrow \overline y) = 1.\) \(F = 1\) в случаях: \(x = 0, \; y = 1; \; x = 0, \; y = 0\) (в случае \(x = 1, \; y = 0\) конъюнкция во второй скобке будет истинна). В первом случае будут две переменные, равные 1. Этот набор может соответствовать только второй строке (в первой и во второй ячейках единица). Следовательно, \(x\) занимает третий столбец. В третьей строке в третьей ячейке будет 1.

2. Рассмотрим первую строку, в ней \(x = 0.\) Из рассмотренных в предыдущем пункте случаев только случай \(x = 0, \; y = 0, \; z = 1\) будет удовлетворять данной строке (так как в нём \(x = 0\)). Следовательно, первый столбец занимает \(z,\) а переменная \(y\) занимает второй столбец.

Ответ: zyx

Для ложности функции \(F\) хотя бы одна из скобок должна быть ложной. Рассмотрим, когда \((x \vee \overline y) = 0.\) Это выражение ложно тогда, когда \(x = 0, \; y = 1.\) При этом \(z\) может быть равно как 0, так и 1. Выражение \((z \vee (x \rightarrow y))\) ложно только тогда, когда \(z = 0, \; x = 1, \; y = 0.\) Из первой скобки мы поняли, что существует набор \(x = 0, \; y = 1, \; z = 1,\) при котором \(F\) ложна. Этот набор соответствует первой строке, а значит \(x\) занимает второй столбец. Обратимся ко второй строке. В ней \(x = 0.\) А значит, эта строка соответсвует только набору \(x = 0, \; y = 1, \; z = 0,\) при котором \(F = 0.\) Получается, что \(y\) занимает третий столбец, а переменная \(z\) занимает первый.

Ответ: zxy