2. Таблицы истинности

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Эквивалентность истинна тогда, когда обе скобки будут иметь одинаковые значения. Рассмотрим случай, когда первая скобка примет значение 0. Для этого \(y = 0,\) а переменные \(x, \; z\) могут принимать следующие значения: \(x = 1, \; z = 0; \; x = 1, \; z = 1; \; x = 0, z = 1.\) Среди этих вариантов только в первом случае вторая скобка будет ложной, а значит, \(F = 1.\) Рассмотрим теперь, когда обе скобки примут значение 1. Это выполнится в трёх случаях: \(x = 0, \; y = 0, \; z = 0; \; x = 0, \; y = 1, \; z = 1; x = 1, \; y = 1, \; z = 1.\) Таким образом, сумма значений \(x,\) при которых \(F = 1\) равна 2.

Ответ: 2

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Рассмотрим, когда функция принимает значение 0. Это будет тогда, когда \(z = 1, \; (x \wedge (y \vee z)) = 0.\) Так как \(z\) принимает значение 1, то \(x\) должен принимать значение 0. Переменная \(y\) может быть равна как 0, так и 1. Следовательно, во второй и четвёртой строках \(F = 0.\) Во всех остальных строках \(F = 1.\) Всего таких строк 6.

Ответ: 6

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Дизъюнкция ложна, когда обе скобки будут ложными. Первая скобка ложна в случае, когда \(x, \; z\) имеют разные значения. Вторая скобка ложна в случае, когда \((z \vee y) = 1, \; x = 0.\) В таком случае \(z = 1.\) При этом переменная \(y\) может иметь значение как 0, так и 1. Следовательно, всего две строки, в которых \(F =0\) (это вторая и четвёртая).

Ответ: 2

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Конъюнкция истинна тогда, когда обе скобки будут истинны. Вторая скобка истинна в случае, когда переменные \(x, \; y\) принимают разные значения. Тогда \(\overline{(x \equiv y)} = 1.\) В таком случае переменная \(z\) может быть равна как 0, так и 1. Из всего этого следует, что \(F = 1\) в третьей, четвёртой, пятой и шестой строчках. Всего таких строчек 4.

Ответ: 4

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Импликация ложна в случае, когда \((x \rightarrow \overline{(y \wedge z)}) = 1, \; (\overline z \rightarrow y) = 0.\) Из второй импликакции сделаем вывод, что для её ложности \(z = 0, \; y = 0.\) Теперь посмотрим на первую импликацию, увидим, что \(\overline{(y \wedge z)}\) будет принимать значение 1, а значит, для истинности этой импликации \(x\) может быть равно как 0, так и 1. Таким образом, всего две строки (первая и пятая), в которых \(F = 0.\)

Ответ: 2

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Дизъюнкция истинна тогда, когда одна из скобок истинна. Первая скобка истинна, если \(x = 1, \; z = 0.\) Следовательно, пятая и седьмая строки дают \(F = 1.\) Вторая скобка истинна в том случае, если \(x = 0, \; y = 1, \; z = 1.\) Это соответствует седьмой строчке. Таким образом, всего три строки, в которых \(F = 1.\)

Ответ: 3

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Конъюнкция истинна тогда, когда все три скобки будут истинными. Рассмотрев вторую скобку, поймём, что в подсчёт ответ не могут включаться пятая и шестая строчка (так как в них импликация будет ложной). Также не могут включаться строчки, в которых переменные \(y\) и \(z\) имеют не одинаковые значения. Следовательно, из подсчёта уходят вторая, третья и седьмая строчки. А рассмотрев первую скобку, мы поймём, что она будет ложной тогда, когда \(x = 0,\) а переменные \(y, \; z\) принимают разные значения (все подобные строчки уже не входят в ответ). Значит, остаётся 3 строки, которые дадут нам \(F = 1.\)

Ответ: 3