Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

26. Игры

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Игры на плоскости

Задание 1 #12718

Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (3, 2). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трёх точек: или в точку с координатами (x + 3, y), или в точку с координатами (x, y + 2), или в точку с координатами (x, y + 4). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0, 0) больше 12 единиц. Кто выиграет при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигрывающий игрок?

Постройте дерево партии для выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы).

Квадрат расстояния от фишки до точки с координатами (0, 0): \( r2 = x2 + y2\). Побеждает игрок, после хода которого \(r2 > 144\). Алгоритм выигрышной стратегии определим при помощи дерева всех возможных партий. Не будем приводить здесь полное дерево, отметим лишь, что при ходе первого игрока в точку (3, 4) первый игрок при любом ответе противника имеет выигрышный набор ходов.

Построим дерево партии для выигрышной стратегии первого игрока: в узлах будем указывать координаты фишки и квадрат расстояния до начала координат. Зелёным отмечены позиции, в которых выигрывает первый игрок.

Дерево содержит все возможные варианты ходов второго игрока. Из него видно, что при любом ответе второго игрока у первого имеется ход, приводящий к победе.

Ответ: см. решение

Задание 2 #12719

Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (3, -5). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трёх точек: или в точку с координатами (x + 3, y), или в точку с координатами (x, y + 4), или в точку с координатами (x, y + 5). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0, 0) больше 9 единиц. Кто выиграет при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Постройте дерево партии для выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы).

Квадрат расстояния от фишки до точки с координатами (0, 0): \(r2 = x2 + y2\). Побеждает игрок, после хода которого \(r2 > 81\). Алгоритм выигрышной стратегии определим при помощи дерева всех возможных партий. Не будем приводить здесь полное дерево, отметим лишь, что при любом ходе первого игрока второй игрок имеет выигрышный набор ходов.

Построим дерево партии для выигрышной стратегии второго игрока: в узлах будем указывать координаты фишки и квадрат расстояния до начала координат. Зелёным отмечены позиции, в которых выигрывает второй игрок.

Дерево содержит все возможные варианты ходов первого игрока. Из него видно, что при любом ходе первого игрока у второго имеется ход, приводящий к победе.

Ответ: см. решение

Задание 3 #12720

Два игрока играют в следующую игру. В координатном пространстве стоит фишка. В начале игры фишка находится в точке с координатами (0, 0, 0). Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y, z) в одну из трех точек: (x+3, y, z+2), (x, y+4, z+1), (x+1, y+2, z). Игра заканчивается, когда длина отрезка, соединяющего фишку и начало координат, превысит число 10. Выигрывает тот игрок, который сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Выигрывает здесь начинающий. Первым ходом он выбирает (1;2;0). В ответ на это его противник выбирает один из трёх вариантов. Если делается ход номер 2, то получается тройка со второй координатой 6, на что следует ответный ход номер 2, и вторая координата становится равной 10, что приводит к выигрышу первого игрока. Если делается ход номер 1 или 3, то в ответ на это первый игрок делает ход номер 3 или 1 соответственно, и получается тройка (5;4;2). Далее второй игрок делает ход, получая (8;4;4), (5;8;3) или (6;6;2). Сумма квадратов координат в каждом из случаев не превосходит 98, то есть длина вектора пока ещё меньше 10. Очевидно, что в ответ всегда можно сделать одну из координат равной 10 или более и тем самым выиграть.

Ответ: Первый игрок

Задание 4 #12721

Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (5; 2). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x; y) в одну из трех точек: или в точку с координатами (x+3; y), или в точку с координатами (x; y+3), или в точку с координатами (x; y+4) Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0; 0) не меньше 13 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Для доказательства рассмотрим неполное дерево игры, оформленное в виде таблицы, где в каждой ячейке записаны координаты фишки на каждом этапе игры.

Таблица содержит все возможные варианты ходов первого игрока. Из неё видно, что при любом ходе первого игрока у второго имеется ход, приводящий к победе.

Ответ: Второй игрок

Задание 5 #12722

Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (0,-4). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (х,у) в одну из трех точек: или в точку с координатами (х+4,у), или в точку с координатами (х,у+4), или в точку с координатами (х+4,у+4). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0,0) больше 12 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Решим задачу графом.

Ответ: Первый игрок

Задание 6 #12723

Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. В начале игры фишка находится в точке с координатами (-2; -1) Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x; y) в одну из трех точек: (x+3; y), (x; y+4), (x+2; y+2). Игра заканчивается, как только расстояние от фишки до начала координат превысит число 9. Выигрывает игрок, который сделал последний ход. Кто выигрывает при безошибочной игре – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Выигрывает первый игрок, своим первым ходом он должен поставить фишку в точке с координатами (1; -1). Для доказательства рассмотрим неполное дерево игры, оформленное в виде таблицы, где в каждой ячейке координаты фишки на каждом этапе игры.

Ответ: Первый игрок

Задание 7 #12724

Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (-1, -2). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (А, В) в одну из трёх точек: или в точку с координатами (А-2, В-3), или в точку с координатами (А+2, В+2), или в точку с координатами (А+1, В+4). Игра заканчивается, как только расстояние от фишки до начала координат превысит число 6. Выигрывает игрок, который сделал последний ход. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока?

Первый ход делается из (-1;-2) в (1;0). При любом ответе противника имеется выигрышный ход. Ход противника (2;4) — ответ (3;8) или (4;6) Ход противника (3;2) — ответ (4;6) или (5;4) Ход противника (-1;-3) — ответ (-3;-6)

Ответ: Первый игрок