Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Системы счисления (сложно)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение основания системы счисления

Задание 1 #8287


Решите уравнение: \(5_{10}=101_x\)

 


Переведем 101 в десятичную систему счисления: \(101_x=1\cdot x^0+0\cdot x^1+1\cdot x^2=1+x^2\)
Теперь подставим в наше уравнение вместо \(101_x\) полученное выражение и решим квадратное уравнение:
\(5=1+x^2\)
\(4=x^2\)
\(x=\pm2\)
Отрицательный корень нам не подходит, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным. Значит, искомое основание равно 2.
Для перепроверки сделаем обратный перевод: \(101_2=1\cdot2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2=1+0+4=5_{10}\)

 

Ответ: 2

Задание 2 #8288


Решите уравнение: \(46_{10}=56_x\)

 


Переведем 56 в десятичную систему счисления: \(56_x=6\cdot x^0+5\cdot x^1=6+5x\)
Составим линейное уравнение, решим его:
\(46=6+5x\)
\(40=5x\)
\(x=8\)
Для перепроверки сделаем обратный перевод: \(56_8=6\cdot8^0+5\cdot8^1=46\)

 

Ответ: 8

Задание 3 #8289


Решите уравнение: \(17_{10}=32_x\)
Ответ запишите в двоичной системе счисления.

 


Переведем 32 в десятичную систему счисления: \(32_x=2\cdot x^0+3\cdot x^1=2+3x\)
Составим линейное уравнение, решим его:
\(17=2+3x\)
\(15=3x\)
\(x=5\)
Теперь переведем искомое основание в двоичную систему счисления: \(5_{10}=1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=101_2\)

 

Ответ: 101

Задание 4 #8290


Решите уравнение: \(20_x+2_{10}=15_5\)
Ответ запишите в двоичной системе счисления.

 


Для начала переведем все числа в десятичную систему счисления:
\(20_x=0\cdot x^0+2\cdot x^1=2x_{10}\)
\(15_5=5\cdot5^0+1\cdot5^1=10_{10}\)
Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить линейное уранение и решить его:
\(2x+2=10\)
\(2x=8\)
\(x=4\)
Искомое основание переводим в двоичную систему счисления и получаем ответ: \(4_{10}=2^2=100_2\).

 

Ответ: 100

Задание 5 #8291


Решите уравнение: \(125_8+10_3=323_x\)
Ответ запишите в троичной системе счисления.

 


Для удобства переведем все числа в десятичную систему счисления:
\(125_8=5\cdot8^0+2\cdot8^1+1\cdot8^2=5\cdot1+2\cdot8+1\cdot64=5+16+64=85_{10}\)
\(10_3=0\cdot3^0+1\cdot3^1=0\cdot1+1\cdot3=3_{10}\)
\(323_x=3\cdot x^0+2\cdot x^1+3\cdot x^2=3\cdot1+2\cdot x+3\cdot x^2=(3+2x+3x^2)_{10}\)
Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить квадратное уранение:
\(85+3=3+2x+3x^2\)
\(3x^2+2x-85=0\)
\(D=2^2-4\cdot3\cdot(-85)=4+12\cdot85=1024\); \(\sqrt D=32\)
\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+32}{2\cdot3}=\frac{30}{6}=5 \hfill \\ x=\frac{-2-32}{2\cdot3}=-\frac{34}{6}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\] Переведем искомое основание в троичную систему счисления: \(5_{10}=1\cdot3^1+2\cdot3^0=12_3\).

 

Ответ: 12

Задание 6 #8292


Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой десятичное число 79 имеет четырехзначную запись.

 


Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно \(x^4-1\), где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: \(2^4-1=15\), слишком мало, запись числа 79 будет состоять более, чем из четырех цифр.
Троичная: \(3^4-1=80\). Значит, искомое значение – 3. Для проверки переведем 79 в троичную систему счисления: \(79_{10}=2\cdot3^3+2\cdot3^2+2\cdot3^1+1\cdot3^0=2221_3\).

 

Ответ: 3

Задание 7 #8293


Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой десятичное число 91 имеет ровно три значащих разряда.

 


Если запись числа имеет ровно три значащих разряда, то запись числа трехзначна (состоит из трех цифр, не равных нулю). Если запись числа трехзначна, то максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\), максимальное двузначное число: \(10^2-1=100-1=99\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Четверичная: \(4^3-1=63\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Пятеричная: \(5^3-1=124\). Значит, искомое основание - 5. Для проверки переведем \(91_{10}=3\cdot5^2+3\cdot5^1+1\cdot5^0=331_5\)

 

Ответ: 5