Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

18. Алгебра высказываний

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Высказывания про числовые отрезки

Задание 1 #12646

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [15; 50]\) и \(Q = [35; 60]\). Укажите наибольшую возможную длину промежутка \(A\), для которого формула

\[(\neg (x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\]

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[(\neg(x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\] \[((x \in A) \vee (x \in P)) \rightarrow ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[\neg ((x \in A) \vee (x \in P)) \vee ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[(x \notin A) \wedge (x \notin P) \vee (x \notin A) \vee (x \in Q)\] \[(x \notin A) \vee (x \in Q)\]

Получается, что \(x\) должен принадлежать \(Q\), либо не принадлежать \(A\). Так как мы ищем наибольшую возможную длину \(A\), необходимо, чтобы он полностью содержался в \(Q\), т.е. максимальная длина отрезка \(A=60-35=25\).

Ответ: 25

Задание 2 #12647

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 17]\) и \(Q = [15; 25]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула

\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]

истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=17-15=2\).

Ответ: 2

Задание 3 #12648

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [5; 35]\) и \(Q = [20; 51]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула

\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]

истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=35-20=15\).

Ответ: 15

Задание 4 #12649

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 50]\) и \(Q = [30; 65]\).Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной \(x\):

\[\neg(x \in A) \rightarrow (((x \in P) \wedge (x \in Q)) \rightarrow (x \in A))\]

Какова наименьшая возможная длина отрезка \(A\)?

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[(x \in A) \vee (\neg (x \in P) \wedge (x \in Q)) \vee A)\] \[\neg(x \in A) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee A\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=50-30=20\).

Ответ: 20

Задание 5 #12650

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [15; 50]\) и \(Q = [35; 60]\). Укажите наибольшую возможную длину промежутка \(A\), для которого формула

\[(\neg (x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\]

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[(\neg(x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\] \[((x \in A) \vee (x \in P)) \rightarrow ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[\neg ((x \in A) \vee (x \in P)) \vee ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[(x \notin A) \wedge (x \notin P) \vee (x \notin A) \vee (x \in Q)\] \[(x \notin A) \vee (x \in Q)\]

Получается, что \(x\) должен принадлежать \(Q\), либо не принадлежать \(A\). Так как мы ищем наибольшую возможную длину \(A\), необходимо, чтобы он полностью содержался в \(Q\), т.е. максимальная длина отрезка \(A=60-35=25\).

Ответ: 25

Задание 6 #12651

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 17]\) и \(Q = [15; 25]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула

\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]

истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=17-15=2\).

Ответ: 2

Задание 7 #12652

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [5; 35]\) и \(Q = [20; 51]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула

\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]

истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=35-20=15\).

Ответ: 15