На числовой прямой даны два отрезка: \(D=[31;54]\) и \(K=[43;72].\)
Отрезок \(A\) таков, что логическое выражение
\( \left( x \in D \right) \rightarrow \left( \left( \neg \left( x \in K \right) \bigwedge \neg \left( x \in A \right) \right) \rightarrow \left( x \in K \right) \right) \)
истинно при любом значении переменной \(x.\)
Какова наименьшая возможная длина отрезка \(A?\)
Введем обозначения: \(K\equiv x\in K,\) \(D\equiv x\in D,\) \(A\equiv x\in A.\)
По правилу преобразования импликации, закону де Моргана и закону тавтологии имеем: \[\begin{aligned}
D \rightarrow \left( \left( \neg K \bigwedge \neg A \right) \rightarrow K \right) \,\,\,\equiv\,\,\,
D \rightarrow \left( \neg \left( \neg K \bigwedge \neg A \right) \bigvee K \right) \,\,\,\equiv\,\,\,
D \rightarrow \left( K \bigvee A \bigvee K \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \\
D \rightarrow \left( K \bigvee A \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \neg D \bigvee K \bigvee A.\end{aligned}\] Выражение \(\neg D \bigvee K\) не зависит от \(A\) и истинно, если \(x\in (-\infty ; 31) \bigcup [43; + \infty)\) \((x\) одновременно находится вне \(D\) или в \(K).\)
Исходное выражение будет истинно при любых \(x,\) если \( A \) будет содержать в себе все элементы из множества \( [31;43).\) Значит, наименьшая длина отрезка равна \(43-31=12.\)
Ответ: 12