Высказывания про числовые отрезки

Введем обозначения: \(K\equiv x\in K,\) \(D\equiv x\in D,\) \(A\equiv x\in A.\)
По правилу преобразования импликации, закону де Моргана и закону тавтологии имеем: \[\begin{aligned} D \rightarrow \left( \left( \neg K \bigwedge \neg A \right) \rightarrow K \right) \,\,\,\equiv\,\,\, D \rightarrow \left( \neg \left( \neg K \bigwedge \neg A \right) \bigvee K \right) \,\,\,\equiv\,\,\, D \rightarrow \left( K \bigvee A \bigvee K \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \\ D \rightarrow \left( K \bigvee A \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \neg D \bigvee K \bigvee A.\end{aligned}\] Выражение \(\neg D \bigvee K\) не зависит от \(A\) и истинно, если \(x\in (-\infty ; 31) \bigcup [43; + \infty)\) \((x\) одновременно находится вне \(D\) или в \(K).\)
Исходное выражение будет истинно при любых \(x,\) если \( A \) будет содержать в себе все элементы из множества \( [31;43).\) Значит, наименьшая длина отрезка равна \(43-31=12.\)

Ответ: 12

Введем обозначения: \(D\equiv x\in D,\) \(B\equiv x\in B\) и \(A \equiv x\in A.\)
По правилу преобразования импликации и закону де Моргана имеем: \[\begin{aligned} D \rightarrow \left( \left( \neg B \bigwedge \neg A \right) \rightarrow \neg D \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \neg D \bigvee \left( \left( \neg B \bigwedge \neg A \right) \rightarrow \neg D \right) \\ \neg D \bigvee \left( \neg \left( \neg B \bigwedge \neg A \right) \bigvee \neg D \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \neg D \bigvee B \bigvee A \bigvee \neg D \,\,\,\equiv\,\,\, A \bigvee \neg D \bigvee B.\end{aligned}\] Выражение \(\neg D \bigvee B\) не зависит от \(A\) и истинно, если \(x\in \left( - \infty ; 139 \right) \bigcup [149 ; + \infty) \) \((x\) одновременно находится в \(B\) или не в \(D).\)
Исходное выражение будет истинно при любых \(x,\) если \( A \) будет содержать в себе все элементы из множества \( [139;149).\) Значит, наименьшая длина отрезка равна \(149-139=10.\)

Ответ: 10

Введем обозначения: \(P\equiv x\in P,\) \(Q\equiv x\in Q,\) \(A\equiv x\in A.\)
По правилу преобразования импликации и закону де Моргана имеем: \[\begin{aligned} \left( P \rightarrow \neg Q \right) \rightarrow \neg A \,\,\,\equiv\,\,\, \left( \neg P \bigvee \neg Q \right) \rightarrow \neg A \,\,\,\equiv\,\,\,\\ \neg \left( \neg P \bigvee \neg Q \right) \bigvee \neg A \,\,\,\equiv\,\,\, P \bigwedge Q \bigvee \neg A.\end{aligned}\] Выражение \(P \bigwedge Q\) не зависит от \(A\) и истинно, если \(x\in [21;38]\) \((x\) одновременно находится в \(P\) и в \(Q).\)
Исходное выражение будет истинно при любых \(x,\) если \(\neg A \) будет содержать в себе дополнение к множеству \(P \bigwedge Q,\) то есть промежуток \((-\infty; 21) \bigcup (38; +\infty).\) Тогда само \(A\) должно лежать внутри множества \([21;38].\)

Ответ: 2

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[(\neg(x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\] \[((x \in A) \vee (x \in P)) \rightarrow ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[\neg ((x \in A) \vee (x \in P)) \vee ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[(x \notin A) \wedge (x \notin P) \vee (x \notin A) \vee (x \in Q)\] \[(x \notin A) \vee (x \in Q)\]

Получается, что \(x\) должен принадлежать \(Q\), либо не принадлежать \(A\). Так как мы ищем наибольшую возможную длину \(A\), необходимо, чтобы он полностью содержался в \(Q\), т.е. максимальная длина отрезка \(A=60-35=25\).

Ответ: 25

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=17-15=2\).

Ответ: 2

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=35-20=15\).

Ответ: 15

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[(x \in A) \vee (\neg (x \in P) \wedge (x \in Q)) \vee A)\] \[\neg(x \in A) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee A\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=50-30=20\).

Ответ: 20