16. Системы счисления (сложно)

Переведем 101 в десятичную систему счисления: \(101_x=1\cdot x^0+0\cdot x^1+1\cdot x^2=1+x^2\)
Теперь подставим в наше уравнение вместо \(101_x\) полученное выражение и решим квадратное уравнение:
\(5=1+x^2\)
\(4=x^2\)
\(x=\pm2\)
Отрицательный корень нам не подходит, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным. Значит, искомое основание равно 2.
Для перепроверки сделаем обратный перевод: \(101_2=1\cdot2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2=1+0+4=5_{10}\)

Ответ: 2

Переведем 56 в десятичную систему счисления: \(56_x=6\cdot x^0+5\cdot x^1=6+5x\)
Составим линейное уравнение, решим его:
\(46=6+5x\)
\(40=5x\)
\(x=8\)
Для перепроверки сделаем обратный перевод: \(56_8=6\cdot8^0+5\cdot8^1=46\)

Ответ: 8

Переведем 32 в десятичную систему счисления: \(32_x=2\cdot x^0+3\cdot x^1=2+3x\)
Составим линейное уравнение, решим его:
\(17=2+3x\)
\(15=3x\)
\(x=5\)
Теперь переведем искомое основание в двоичную систему счисления: \(5_{10}=1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=101_2\)

Ответ: 101

Для удобства переведем все числа в десятичную систему счисления:
\(125_8=5\cdot8^0+2\cdot8^1+1\cdot8^2=5\cdot1+2\cdot8+1\cdot64=5+16+64=85_{10}\)
\(10_3=0\cdot3^0+1\cdot3^1=0\cdot1+1\cdot3=3_{10}\)
\(323_x=3\cdot x^0+2\cdot x^1+3\cdot x^2=3\cdot1+2\cdot x+3\cdot x^2=(3+2x+3x^2)_{10}\)
Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить квадратное уранение:
\(85+3=3+2x+3x^2\)
\(3x^2+2x-85=0\)
\(D=2^2-4\cdot3\cdot(-85)=4+12\cdot85=1024\); \(\sqrt D=32\)
\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+32}{2\cdot3}=\frac{30}{6}=5 \hfill \\ x=\frac{-2-32}{2\cdot3}=-\frac{34}{6}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\] Переведем искомое основание в троичную систему счисления: \(5_{10}=1\cdot3^1+2\cdot3^0=12_3\).

Ответ: 12

Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно \(x^4-1\), где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: \(2^4-1=15\), слишком мало, запись числа 79 будет состоять более, чем из четырех цифр.
Троичная: \(3^4-1=80\). Значит, искомое значение – 3. Для проверки переведем 79 в троичную систему счисления: \(79_{10}=2\cdot3^3+2\cdot3^2+2\cdot3^1+1\cdot3^0=2221_3\).

Ответ: 3

Если запись числа имеет ровно три значащих разряда, то запись числа трехзначна (состоит из трех цифр, не равных нулю). Если запись числа трехзначна, то максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\), максимальное двузначное число: \(10^2-1=100-1=99\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Четверичная: \(4^3-1=63\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Пятеричная: \(5^3-1=124\). Значит, искомое основание - 5. Для проверки переведем \(91_{10}=3\cdot5^2+3\cdot5^1+1\cdot5^0=331_5\)

Ответ: 5

Приведем к общему основанию:

\(5^{4}+5^{5}-5^{3}\)

Переведем в пятиричную систему счисления и получим:

\(10000+100000-1000\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 110000\\ \ 1000\\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 104000 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 1