Сложные логические выражения (страница 3)

1. Рассмотрим скобку с конъюнкцией. Для её истинности \(x = 1, \; y = 0.\) В таком случае и первая скобка с двумя импликациями должна быть истинна. Для этого \(z = 0.\) Теперь рассмотрим, когда первая скобка будет ложна. Она ложна, если \(z = 1, \; (x \rightarrow \overline y) = 1.\) \(F = 1\) в случаях: \(x = 0, \; y = 1; \; x = 0, \; y = 0\) (в случае \(x = 1, \; y = 0\) конъюнкция во второй скобке будет истинна). В первом случае будут две переменные, равные 1. Этот набор может соответствовать только второй строке (в первой и во второй ячейках единица). Следовательно, \(x\) занимает третий столбец. В третьей строке в третьей ячейке будет 1.

2. Рассмотрим первую строку, в ней \(x = 0.\) Из рассмотренных в предыдущем пункте случаев только случай \(x = 0, \; y = 0, \; z = 1\) будет удовлетворять данной строке (так как в нём \(x = 0\)). Следовательно, первый столбец занимает \(z,\) а переменная \(y\) занимает второй столбец.

Ответ: zyx

Функция \(F\) истинна в том случае, когда одна из скобок будет истинна. Рассмотрим, когда истинна третья скобка. Она истинна в случае \(x = 1, \; y = 0, \; z = 0, \; w = 0.\) Данный набор переменных соответствует первой строке фрагмента таблицы истинности. Получается, что переменная \(x\) занимает третий столбец. Теперь рассмотрим вторую скобку. Она истинна в случае \(x = 1, \; y = 1, \; z = 1, \; w = 0.\) Этот набор соответствует третьей строке. Получим, что \(w\) занимает первый столбец. Теперь обратимся к первой скобке. Она истинна тогда, когда \(x = 1, \; y = 1, \; w = 0.\) Следовательно, \(y\) занимает четвёртый столбец (исходя из второй строки фрагмента таблицы истинности). А для \(z\) остаётся второй столбец.

Ответ: wzxy

1. Функция истинна, если одна из скобок истинна. Обратимся к первой строке. Если \(x=1,\;y=0,\;z=0\) или \(y=1,\;x=0,\;z=0,\) то функция ложна. Отсюда следует, что \(z\) занимает второй столбец.

2. Рассмотрим вторую строку. В ней \(z\) принимает значение 1. Тогда первая скобка из-за отрицания \(z\) будет ложной. В таком случае \(x\) должен быть равен 0. Получаем, что \(x\) занимает первый столбец, а \(y\) занимает третий.

Ответ: xzy

1. Для ложности дизъюнкции \(\overline x = 0,\) а значит \(x = 1.\) Только первый столбец может соответствовать этому условию, так как только в ячейках этого столбца нет нулей.

2. Заметим, что в четвёртой ячейке второй строки должна быть единица, а также в третьей ячейке третьей строки должна быть единица. Иначе обе строки совпали бы с первой строкой. Что касается четвёртой строки, может быть два расклада: во второй ячейке 1, а в четвёртой 0, либо во второй и четвёртой ячейках 1 (в других случаях строка совпадёт с предыдущими строками). Однако в первом случае мы не сможем различить переменные \(w, \; y, \; z\) между собой. Следовательно, во второй и четвёртой ячейках находятся единицы. Для ложности импликации \(z = 1, \; y = 0.\) Тогда переменная \(w\) может быть равна как 0, так и 1. Если переменная \(w\) равна 1, то данное расположение переменных будет соответствовать четвёртой строке, а значит, \(y\) займёт третий столбец.

3. Рассмотрим вторую строку. В ней \(y = 0.\) Если \(w\) занимает четвёртый столбец, а \(z\) второй, то конъюнкция будет истинной, а значит, \(F = 1.\) Получается, что \(z\) занимает четвёртый столбец, а переменная \(s\) занимает второй.

Ответ: xwyz

Для ложности функции \(F\) хотя бы одна из скобок должна быть ложной. Рассмотрим, когда \((x \vee \overline y) = 0.\) Это выражение ложно тогда, когда \(x = 0, \; y = 1.\) При этом \(z\) может быть равно как 0, так и 1. Выражение \((z \vee (x \rightarrow y))\) ложно только тогда, когда \(z = 0, \; x = 1, \; y = 0.\) Из первой скобки мы поняли, что существует набор \(x = 0, \; y = 1, \; z = 1,\) при котором \(F\) ложна. Этот набор соответствует первой строке, а значит \(x\) занимает второй столбец. Обратимся ко второй строке. В ней \(x = 0.\) А значит, эта строка соответсвует только набору \(x = 0, \; y = 1, \; z = 0,\) при котором \(F = 0.\) Получается, что \(y\) занимает третий столбец, а переменная \(z\) занимает первый.

Ответ: zxy

1. Заметим, что для ложности дизъюнкции \(w\) дожно быть равным 0. Среди всех столбцов фрагмента таблицы истинности только во втором нет 1. Значит во втором столбце находится \(w,\) а все ячейки столбца заняты нулями.

2. Рассмотрим третью строку таблицы истинности. Для ложности функции \(F\) эквивалентность во второй скобке должна быть ложной, а это значит, что переменные \(y, \; z\) примут разные значения. Таким образом, в первой ячейке третьей строки находится 0. При этом из \((\overline y \wedge x)\) мы можем понять, что \(y\) не может быть равно 0, а \(x\) равно 1 одновременно. Это означает, что \(y\) не может занимать первый столбец. А раз \(y\) занимает третий или четвёртый столбец, а \(z\) принимает значение, отличное от \(y,\) то \(z\) находится в первом столбце.

3. Рассмотрим теперь вторую строчку. Если в четвёртой ячейке находится 1, то в первой ячейке находится 0. Но тогда строка совпадет с третьей. Значит в третьей ячейке находится 0. Если \(x\) занимает третий столбец, а \(y\) четвёртый, то мы получим, что во второй строке \(F = 1,\) так как конъюнкция будет истинна. Следовательно, переменные расположены наоборот, \(y\) занимает третий столбец, а переменная \(x\) занимает четвёртый.

4. Осуществим проверку, найдя значения для первой строки. В третьей ячейке будет стоять 0, тогда в четвёртой ячейке будет также храниться 0. Данная строка удовлетворит условию \(F = 0,\) а также не совпадёт с другими. Значит наша расстановка переменных верна.

Ответ: zwyx

1. Рассмотрим вторую строку. Предположим, что \(y\) занимает первый столбец. В таком случае конъюнкция будет истинной, а значит, и дизъюнкция будет истинной. Если \(z\) занимает первый столбец, то дизъюнкция также будет истинной. Это значит, что первый столбец отведён под переменную \(x.\)

2. Теперь рассмотрим третью строку. В ней \(x = 1.\) Так как переменная \(z\) не может быть равна 1, то это значит, что \(z\) занимает третий столбец. Тогда \(y\) занимает второй.

Ответ: xyz