Сложные логические выражения (страница 2)

Задание 8 #14633

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(((x \rightarrow \overline y) \rightarrow \overline z) \equiv (x \wedge \overline y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) истинна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{???} & ??? & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 0 & ??? & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Рассмотрим скобку с конъюнкцией. Для её истинности \(x = 1, \; y = 0.\) В таком случае и первая скобка с двумя импликациями должна быть истинна. Для этого \(z = 0.\) Теперь рассмотрим, когда первая скобка будет ложна. Она ложна, если \(z = 1, \; (x \rightarrow \overline y) = 1.\) \(F = 1\) в случаях: \(x = 0, \; y = 1; \; x = 0, \; y = 0\) (в случае \(x = 1, \; y = 0\) конъюнкция во второй скобке будет истинна). В первом случае будут две переменные, равные 1. Этот набор может соответствовать только второй строке (в первой и во второй ячейках единица). Следовательно, \(x\) занимает третий столбец. В третьей строке в третьей ячейке будет 1.

2. Рассмотрим первую строку, в ней \(x = 0.\) Из рассмотренных в предыдущем пункте случаев только случай \(x = 0, \; y = 0, \; z = 1\) будет удовлетворять данной строке (так как в нём \(x = 0\)). Следовательно, первый столбец занимает \(z,\) а переменная \(y\) занимает второй столбец.

Ответ: zyx

Задание 9 #14634

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(w \wedge \overline{(x \equiv z)} \wedge (\overline x \vee \overline y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) истинна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 0 & ??? & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z, w.\)

Показать решение

1. Для истинности конъюнкции \(w = 1.\) Подходящим столбцом может стать только первый.

2. Рассмотрим теперь отрицание эквивалентности. Для того, что функция была истинной, эквивалентность должна быть ложной (так как используется отрицание). Следовательно, переменные \(x, \; z\) должны прнимать разные значения. Обратимся к фрагменту таблицы истинности. Переменные не могут занимать второй и третий, третий и четвёртый столбцы (так как существуют строки, в которых переменные принимают одинаковое значение). Значит \(x, \; z\) занимают второй и четвёртый столбец, а под \(y\) отводится третий столбец.

3. Как мы уже поняли, \(x,\; z\) имеют разные значения. Получается, что во второй ячейке второй строки находится 1, в четвёртой ячейке третьей строки также находится 1. В третьей ячейке второй строки находится тоже 1 (иначе строка совпала бы с первой). Также во второй строке \(y = 1.\) А так как (\(\overline x \vee \overline y) = 1,\) то \(x = 0.\) Следовательно, \(x\) занимает четвёртый столбец, а переменная \(z\) занимает второй.

Ответ: wzyx

Задание 10 #14635

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((\overline x \rightarrow y) \wedge (y \equiv \overline z) \wedge (x \vee y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Конъюнкция истинна тогда, когда каждая скобка будет истинной. Рассмотрим вторую скобку. Она истинна тогда, когда \(y, \; z\) имеют разные значения. Следовательно, эти переменные не могут занимать первый и третий, второй и третий столбцы (так как есть строки, в которых переменные имеют одинаковые значения). Это означает, что под переменные \(y, \; z\) отводится первый и второй столбец, а переменная \(x\) занимает третий.

2. Рассмотрим первую строку. В ней \(x\) принимает значение 0. Тогда для того, чтобы дизъюнкция в третьей скобке была истинной, надо, чтобы \(y\) принимало значение 1. Следовательно, переменная \(y\) занимает второй столбец. Тогда переменная \(z\) занимает первый.

Ответ: zyx

Задание 11 #14636

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(((y \vee z) \rightarrow x) \vee (x \equiv y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

Для ложности функции \(F\) каждая из скобок должна быть ложной. Первая скобка ложна в случае, если \(x = 0, \; (y \vee z) = 1.\) Следовательно, переменная \(x\) занимает третий столбец. Так как \(x\) принимает значение 0, то \(y\) должен принимать значение 1, чтобы эквивалентность была ложной. Тогда ячейки во втором столбцы будут содержать единицы, а сам столбец принадлежит переменной \(y.\) Тогда для переменной \(z\) остаётся первый столбец.

Ответ: zyx

Задание 12 #14637

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\(\overline x \vee ((z \rightarrow y) \wedge (z \vee w))\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z, w\)

Показать решение

1. Для ложности функции \(F\) переменная \(x\) должна принимать значение 1. Следовательно, данная переменная занимает второй столбец.

2. Рассмотрим четвёртую строку. Предположим, что \(z\) занимает третий столбец. В таком случае импликация и дизъюнкция будут истинны, а значит, конъюнкция будет истинна. Если \(w\) занимает третий столбец, то конъюнкция будет так же истинна. Если же \(y\) занимает третий столбец, то импликация будет ложной, а значит, и конъюнкция будет ложной. Тогда \(y\) занимает третий столбец.

3. Рассмотрим вторую строчку. В ней \(y\) принимает значение 0. Если \(z\) занимает четвёртый столбец, то дизъюнкция и импликация будут истинны, а значит, конъюнкция будет истинна. Следовательно, \(z\) занимает первый столбец, а переменная \(w\) занимает четвёртый.

Ответ: zxyw

Задание 13 #14646

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((z \equiv y) \equiv (\overline y \vee \overline x)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Рассмотрим третью строку. Предположим, что \(x\) занимает второй столбец. В таком случае эквивалентность будет истинной. Если же \(z\) занимает второй столбец, то эквивалентность будет тоже истинной. Следовательно, второй столбец занимает переменная \(y.\)

2. Обратимся к первой строке. В ней \(y = 0.\) В этом случае дизъюнкция будет истинной. Тогда эквивалентность должна быть ложной. А это значит, что \(z = 1.\) Следовательно, \(z\) занимает третий столбец, а переменная \(x\) — первый.

Ответ: xyz

Задание 14 #14644

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((\overline x \vee y \vee \overline z) \wedge (\overline x \equiv (\overline y \vee z))\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) истинна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & ??? & 1 \\ \hline \text{1} & ??? & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Так как строки повторяться не могут, то в третьей ячейке второй строки находится 1. Рассмотрим первую строку. Предположим, что \(x = 1.\) В таком случае функция примет значение 0 (из-за ложности конъюнкции). Если же второй столбец занимает переменная \(y,\) то эквивалентность будет ложной, а значит, и конъюнкция будет ложной. Следовательно, второй столбец занимает переменная \(z.\)

2. Рассмотрим вторую строку. В ней \(z = 1.\) Если же \(x = 1, \; y = 0,\) то функция примет значение 0. Следовательно, первый столбец занимает переменная \(x,\) а третий столбец занимает переменная \(y.\) В третьей строке во второй ячейке будет находиться 0, так как если все переменные примут значение 1, то сама функция примет значение 0.

Ответ: xzy