Простейшие логические выражения (страница 3)

Во всех строках приведенного фрагмента таблицы истинности \(F = 1.\) Чтобы конъюнкция была истинна, \(z\) всегда должна равняться единице (так как конъюнкция будет истинна, если истинны все высказывания, входящие в нее). Этому условию соответствует только второй столбец, т.к. в других присутствует ноль.

Рассмотрим \(\overline x \vee y.\) Это высказывание тоже должно быть истинным. Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний, входящих в нее, истинно. Значит, мы не должны допускать ситуации, когда \(\overline x \; = 0\) (или \(x = 1)\) и \(y = 0\) одновременно. Рассмотрим первый и третий столбец первой строки. Если \(x\) отвечает за 1 столбец, а \(y\) за третий, то \(\overline 1 \vee 0 \; = \; 0.\) Этот вариант не подходит, так как дизъюнкция будет ложной. Тогда остается только один вариант: \(y\) отвечает за 1 столбец, а \(x\) за третий, получаем \(\overline 0 \vee 1 \; = \; 1.\)

Проверим наше предположение на двух оставшихся строчках.

Рассмотрим вторую строчку. \(\overline 0 \vee 0 \; = \; 1.\) Дизъюнкция будет истинной.

Рассмотрим третью строчку. \(\overline 1 \vee 1 \; = \; 1.\) Дизъюнкция будет истинной. Таким образом, \(x\)отвечает за третий столбец, а \(y\)— за первый.

Ответ: yzx

1. \(F = 0\) тогда, когда дизъюнкция ложна, а ложна она в случае, когда обе скобки ложны. Значит \(z, \; x\) имеют разные значения. Предположим, что \(x\) занимает третий столбец. Обратимся к первой строке. Но тогда конъюнкция во второй скобке истинна, что делает \(F = 1.\) Если \(y\) занимает третий столбец, то \(z = x = 0,\) что также делает \(F = 1.\) Следовательно, третий столбец занят переменной \(z.\)

2. Обратимся к третьей строке, в ней \(z = 0,\) значит, \(x = 1.\) Тогда \(y = 1.\)

3. Теперь обратимся ко второй строчке. Предположим, что в ней \(z = 0.\) Тогда \(x = 1,\) а значит, занимает второй столбец. Но тогда \(y = 1,\) что не подходит для второй строки. Значит в ней \(z = 1.\) Тогда \(x = 0,\) а значит, \(y = 0,\) либо \(y = 1.\) В первом случае строка совпадет с первой строкой, значит подойдёт второй вариант. Таким образом, \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает первый.

Ответ: xyz

Импликация ложна в случае, когда первая скобка будет истинной, а вторая скобка будет ложной. Вторая скобка ложна в случае, когда переменные \(x, \; z\) имеют разные значения. Из первой и третьей строчек мы можем сделать вывод о том, что эти переменные не могут занимать второй и третий, первый и второй столбцы. Следовательно, \(y\) занимает второй столбец. Рассмотрим вторую строку, в ней \(y = 1.\) Так как \((x \rightarrow \overline y) = 1,\) то \(x = 0.\) Значит \(x\) занимает третий столбец, а \(z\) занимает первый.

Ответ: zyx

1. Дизъюнкция ложна в случае, когда обе скобки будут ложными. А это значит, что \(z, \; y\) будут иметь разные значения. Посмотрев на первую и третью строчки мы поймём, что эти переменные не могут занимать второй и третий столбец, первый и второй. Исходя из этого получим, что \(x\) занимает второй столбец.

2. Посмотрим на третью строчку. В ней \(x = 1,\) а это значит, что \(y = 0\) в этой строке, чтобы конъюнкция во второй скобке была ложной. Получается, что в третьей ячейке третьей строки находится 0. И этот столбец занят переменной \(y.\) А первый столбец отводится под переменную \(z.\)

Ответ: zxy

1. Рассмотрим первую строчку фрагмента таблицы истинности. Для истинности функции каждая из скобок должна быть истинна. Следовательно, ни одна из импликакий не должна быть ложной, а это означает, что ни \(x,\) ни \(y\) не равны 1. В таком случае третий столбец занимает переменная \(z\).

2. Рассмотрим вторую строчку. Видим, что переменная \(z\) вновь принимает значение 1. Первая импликация должна быть истинной, а это будет возможно тогда, когда \(x = 0, \; y = 1.\) Получается, что \(x\) занимает второй столбец, а \(y\) занимает первый.

Ответ: yxz

1. Дизъюнкция ложна тогда, когда обе скобки будут ложны. Следовательно, \(y\) и \(z\) имеют разные значения. Рассмотрим вторую строчку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. Но тогда, так как \(y = z = 1,\) то \(F = 1.\) Если \(y\) занимает первый столбец, то \((\overline y \wedge x) = 1,\) а значит, \(F = 1.\) Следовательно, первый столбец занят переменной \(z.\)

2. Рассмотрим вариант, когда \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает третий. Так как \(y\) и \(z\) принимают разные значения, а строчки не могут повторяться, то первая ячейка третьей строки равна 1, а вторая ячейка равна 0. В таком случае вторая скобка будет истинной, а значит, дизъюнкция будет истинной. Следовательно, второй столбец занимает \(x,\) а третий столбец занимает \(y.\)

Ответ: zxy

1. Обратим внимание на первую строчку фрагмента таблицы. Предположим, что все переменные принимают значение 0. Тогда \((y \vee x) = 0,\) а значит \(F = 1.\) То есть все переменные не могут быть одновременно нулями. Значит в первой ячейке первой строчки стоит 1. Предположим, что это \(y.\) Но так как \(x = z = 0\) в таком случае, то \((x \equiv z) = 1,\) то есть \(F = 1.\) Если это \(z,\) то так как \((y \vee x) = 0,\) то импликация будет истинной. Следовательно, первый столбец занимает переменная x.

2. Рассмотрим теперь вторую строчку. Мы поняли, что одновременно нулями все переменные быть не могут, быть единицей может только \(x\) (в то время как остальные переменные равны нулю). Значит, первую и вторую ячейку занимает единица. Теперь рассмотрим, когда \(y = 0, \; z = 1.\) Но тогда \(x = z = 1,\) а значит, \((x \equiv z) = 1.\) Значит импликация будет истинной при этом. Остаётся вариант, когда \(y = 1, \; z = 0.\) Данный вариант удовлетворяет условиям, так \(F = 0.\) Следовательно, \(y\) занимает второй столбец, а \(z\) занимает третий.

Ответ: xyz