2. Таблицы истинности (страница 5)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

1. Импликация ложна в том случае, если первая скобка принимает значение 1, а вторая значение 0. Следовательно, для этого \(x = z.\) Этому условию подходят первая, третья, шестая и восьмая строчки.

2. Для истинности первой скобки хотя бы одна из переменных \(x, \; y\) должна быть равна 1. Используя этот факт, мы оставляем третью, шестую и восьмую строчки. Именно в этих строчках \(F = 0.\)

3. Посчитаем сумму значений \(z,\) при которых \(F = 0.\) Получим ответ 2.

Ответ: 2

1. Мы можем однозначно определить, что \(x = 1\) для истинности функции \(F.\) Следовательно, переменная \(x\) занимает второй столбец.

2. Рассмотрим вторую строчку фрагмента таблицы истинности. Предположим, что \(z\) - это третий столбец, а \(y\) — первый. Но в таком случае импликация будет истинна, эквивалентность ложна, а значит, функция ложна. Покажем, что \(z\) - это первый столбец, а \(y\) — третий столбец. Тогда импликация будет истинна, эквивалентность истинна, а значит, и конъюнкция будет истинна. Следовательно, переменные расположены в порядке \(zxy.\)

Ответ: zxy

1. Рассмотрим первую строчку. Предположим, что все переменные принимают значение 0. В таком случае левая часть импликации будет истинна, правая часть тоже истинна, а значит, при этих значениях переменных \(F = 1.\) Следовательно, в первой ячейке первой строки находится 1. Предположим, что это \(x.\) В таком случае левая и правая часть импликации будут истинны, а значит, и сама импликация будет истинна. Если это переменная \(y,\) то левая часть импликации будет равна 0, а значит, \(F = 1.\) Остаётся предположить, что первый столбец занимает переменная \(z.\) В этом можно убедиться, если принять \(z = 1, \; x = 0, \; y = 0\) (как в первой строчке). Получим, что при этих значениях \(F = 0,\) так как \((x \vee \overline y) = 1,\) \((z \equiv (x \wedge y)) = 0.\)

2. Как мы поняли из первой строки, среди набора переменных \(x, \; y, \; z\) только одна переменная \(z\) может принимать значение 1, в то время как другие переменные равны 0. Следовательно, третья ячейка третьей строки равна 1.

3. Осталось разобраться со второй строкой. Если вторая ячейка принимает значение 0, то строка совпадёт с первой строкой. Значит, в этой ячейке находится 1. Предположим, что \(y = 1, \; x = 0.\) Но тогда \((x \vee \overline y) = 0,\) а значит, \(F = 1.\) Остаётся вариант, когда \(x = 1, \; y = 0.\) При этих значениях \(F = 0.\) Значит второй столбец занимает \(x,\) а третий столбец занимает \(y.\)

Ответ: zxy

1. Упростим \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y).\)

По закону дистрибутивности \((y \wedge x) \vee (x \wedge \overline y)\) = \( x \wedge (y \vee \overline y).\) \(y \vee \overline y = 1\) (если \(y = 0,\) то \(\overline y \vee y = 1 \vee 0 = 1,\) если \(y = 1,\) то \(\overline y \vee y = 0 \vee 1 = 1).\) Тогда \( x \wedge (y \vee \overline y) = x \wedge 1 = x .\)

2. Упростим \((y\wedge z) \vee (z \wedge x).\) По закону дистрибутивности \((y\wedge z) \vee (z \wedge x) = z \wedge (y \vee x).\)

3. Получим: \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x) = x \vee z \wedge (y \vee x).\)

4. В таблице истинности содержится 8 строчек (строк всегда \(2^n,\) где \(n\) — количество переменных). В нашем случае переменных 3.

5. Заполним таблицу истинности.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & z & y \vee x & z \wedge (y \vee x) & F = x \vee z \wedge (y \vee x) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Так как дизъюнкция \(x \vee z \wedge (y \vee x)\) истинна, если истинно хотя бы одно из входящих в нее высказываний, то для \(x = 1\) \(F = 1\) при любых \(y\) и \(z\) (строки 5-8 в таблице истинности).

Рассмотрим случай, когда \(x = 0.\) Тогда значение функции будет зависить от значения \(z \wedge (y \vee x).\) Если \(z \wedge (y \vee x)\) истинна, то и \(F\) истинна, если ложна, то \(F\) ложна. Рассмотрим случай, когда \(F = 1.\) Конъюнкция \((z \wedge (y \vee x))\) истинна, если все входящие в нее высказывания истинны, то есть \(y \vee x = 1\) и \(z = 1.\) \(x = 0,\) значит, \(y \vee x = 1,\) когда \(y = 1\) (строка 4).

Если же одно из высказываний, входящих в конъюнкцию, ложно, то вся конъюнкция ложна. Если \(x = 0\) и \(y = 0,\) то \(y \vee x = 0.\) Тогда \(z \wedge (x \vee y) = 0\) при любом \(z\) (строки 1-2). Так как \(x = 0,\) а второе высказывание, входящее в дизъюнкцию \((z \wedge (x \vee y)),\) тоже ложно, то и вся функция ложна. Если \(x = 0\) и \(y = 1,\) то \(y \vee x = 1.\) Если \(z = 0,\) \(z \wedge (y \vee x) = 0.\) Тогда \(F = 0\) (строка 3). Случай, когда \(z = 1,\) \(y = 1,\) \(x = 0,\) был рассмотрен в предыдущем абзаце.

Мы построили таблицу истинности. Видим, что в ней есть 5 наборов, при которых \(F = 1.\) Поэтому ответ: 5.

Ответ: 5

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

1. Конъюнкция будет равна истинна, если каждая из скобок будет истинна. Обратим внимание на вторую скобку. Если \(x = 1, \; y = 1,\) то \(F = 0.\) Следовательно, в седьмой и восьмой строчках \(F = 0.\)

2. В первой скобке если \(x = 1,\) то \((\overline y \vee z) = 1.\) Причём \((\overline y \vee z) = 0\) тогда, когда \(z = 0, \; y = 1\) (в этом случае \(F = 0,\) это седьмая строчка). Если \(x = 0,\) то \((\overline y \vee z) = 0.\) Причём \((\overline y \vee z) = 1\) тогда, когда \(z = 1, \; y = 0,\) либо \(z = 1, \; y = 1,\) либо \(z = 0, \; y = 0.\) Таким образом, в первой, второй и четвёртой строчках \(F = 0.\) Следовательно, в третьей, пятой и шестой строчках \(F = 1.\)

Ответ: 3

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одна из скобок истинна. Первая скобка истинна при \(x=1\;y=1\;z=0,\) поэтому в седьмой строке \(F=1.\) Вторая скобка истинна при \(z=1,\; x=0,\) значит, во второй и четвертой строках \(F=1.\) Тогда в первой, третьей, пятой, шестой, восьмой строках \(F=0.\)

Ответ: 5

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

1. Если \(z = 1,\) то и конъюнкция должна быть истинна. То есть \(y = 1, \; x = 0.\) Следовательно, в четвёртой строке \(F = 1.\)

2. Если \(z = 0,\) то \(F = 1\) в любых комбинациях \(x, \; y\) кроме той, когда \(x = 0, \; y = 1.\) Значит первая, пятая и седьмая строки дают нам \(F = 1.\) Суммарно 4 строки, в которых \(F = 1.\)

Ответ: 4