2. Таблицы истинности (страница 6)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

1. Рассмотрим, когда конъюнкция будет истинной. Когда мы это найдем, то поймем, какие строчки дадут нам \(F = 1.\) Конъюнкция будет истинна, если каждая из скобкой будет истинной. Первая скобка истинна при всех комбинациях \(x, \; y\) кроме той, когда \(x = 0, \; y = 1.\) Значит можно точно сказать, что третья и четвёртая строки дадут \(F = 0.\)

2. Вторая скобка истинна только при одной комбинации переменных: \(z = 0, \; x = 1, \; y = 0.\) Этому набору соответствует пятая строка таблицы истинности. Таким образом, \(F = 1\) при наборах, представленных в оставшихся строчках. Сумма значений \(x\), при которых \(F = 1:\) 3.

Ответ: 3

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Для начала найдем те строчки, в которых \(F = 0.\) Для этого импликация должна быть ложной, а ложной она будет в том случае, если \(\overline y = 0.\) Следовательно, \(y = 1.\) Первая скобка в таком случае должна быть истинной. Она будет истинной при всех комбинациях переменных кроме той, когда \(x = 0, \; y = 1, \; z = 0.\) Становится ясно, что \(F = 0\) в четвёртой, седьмой и восьмой строчках. Значит в остальных строчках \(F = 1.\) Причём сумма значений \(y\) равна 1.

Ответ: 1

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Конъюнкция истинна, если каждая из скобок истинна. Рассмотрим первую скобку. Она истинна в том случае, если \(x = 1, \; y = 0.\) Если \(z = 0,\) то не выполнится эквивалентность в третьей скобке. Это значит, что \(z = 1.\) Таким образом, подходит только один набор переменных, при которых \(F = 1.\) Этот набор соответствует пятой строке.

Ответ: 1

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Рассмотрим, когда первая скобка будет ложна. Импликация ложна в том случае, если \((\overline x \wedge y) = 1, \; z = 0.\) То есть \(x = 0, \; y = 1, \; z = 0.\) При этих значениях вторая скобка будет истинна. Таким образом, третья строка таблицы истинности даёт \(F = 0.\) Рассмотрим, когда вторая скобка будет ложна. Она будет ложна в случае, если \(x = 1, \; y = 1.\) При этих значениях переменных первая скобка будет истинна. Значит, эквивалентность будет ложна. Эти наборы переменных соответствуют седьмой и восьмой строчкам таблицы истинности. Во всех остальных строчках \(F = 1.\) Всего таких строчек 5.

Ответ: 5

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

1. Рассмотрим сначала вторую скобку. \((z \rightarrow \overline y) = 0\) в случае, когда \(z = 1, \; y = 1.\) В этом случае первая скобка должна быть истинной. Это произойдёт в случае \(x = 0.\) Значит в четвёртой строке таблицы истинности \(F = 0.\)

2. Обратимся теперь к первой скобке. Она будет ложной в случае \(x = 1, \; y = 0, \; z = 0,\) либо в случае \(x = 1, \; y = 1, \; z = 1.\) Второй вариант нас не устроит, так как импликация во второй скобке тоже будет ложной, а это значит, что \(F = 1.\) Проверкой первого случая убеждаемся в том, что \(F = 0\) при данных значениях переменных. Значит функция примет значение 0 в пятой строке. Суммарно подходящих строк две.

Ответ: 2

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В таблице \(2^3 = 8\) строк.

Функция ложна в тех случаях, когда каждая из трёх скобок будет ложной. Первая скобка истинна в случае \(x = 0, \; y = 1, \; z = 1.\) Вторая скобка истинна в случае \(x = 1, \; y = 0, \; z = 1.\) А третья скобка будет истинна в случае \(x = 1, \; y = 1, \; z = 0.\) Следовательно, в четвёртой, шестой и седьмой строчках \(F = 1.\) В остальных случаях \(F = 0.\) При этом сумма значений \(z\) равна 2.

Ответ: 2