Нахождение основания системы счисления (страница 7)

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:

\(37_{11}=7\cdot11^0+3\cdot11^1=40\)

\(31_x=1\cdot x^0+3\cdot x^1=1+3x\)

Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:

\(40=1+3x\)

\(39=3x\)

\(x=13\)

Значит, искомое основание равно 13.

Ответ: 13

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:

\(14_{7}=4\cdot7^0+1\cdot7^1=11\)

\(12_x=2\cdot x^0+1\cdot x^1=2+x\)

Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:

\(11=2+x\)

\(x=9\)

Ответ: 9

Переведем обе части уравнения вдесятичную систему счисления:

\(246_9=6\cdot9^0+4\cdot9^1+2\cdot9^2=204\)

\(129_x=9\cdot x^0+2\cdot x^1 + 1\cdot x^2=x^2+2x+9\)

Теперь решим новое квадратное уравнение и найдем ответ:

\(204=x^2+2x+9\)

\(x^2+2x-195=0\)

\(D=4-4\cdot(-195)=784=28^2\)

\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+28}{2}=\frac{26}{2}=13 \hfill \\ x=\frac{-2-28}{2}=-\frac{-30}{2}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\]

Значит, искомое основнание системы равно 13.

Ответ: 13

Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно \(x^4-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^4-1=15\), слишком мало, запись числа 89 будет состоять более, чем из 4-х цифр.

Троичная: \(3^4-1=80\), слишком мало, запись числа 89 будет состоять более, чем из 4-х цифр.

Четверичная: \(4^4-1=255\). Значит, искомое значение — 4. Для проверки переведем 89 в четверичная систему счисления: \(89_{10}=1\cdot4^3+1\cdot4^2+2\cdot4^1+1\cdot4^0=1121_4\).

Ответ: 4

Если запись числа трехзначна, максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Четверичная: \(4^3-1=63\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Пятеричная: \(5^3-1=124\). Значит, искомое значение — 5. Для проверки переведем 67 в пятеричную систему счисления: \(67_{10}=2\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0=232_5\).

Ответ: 5

Если запись числа трехзначна, максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Четверичная: \(4^3-1=63\). Значит, искомое значение — 4. Для проверки переведем 63 в четверичную систему счисления: \(63_{10}=3\cdot4^2+3\cdot4^1+3\cdot4^0=333_4\).

Ответ: 4

Приведем к общему основанию:

\(5^{4}+5^{5}-5^{3}\)

Переведем в пятиричную систему счисления и получим:

\(10000+100000-1000\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 110000\\ \ 1000\\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 104000 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 1