Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по таким правилам:
1. Складываются квадраты цифр, стоящих на нечетных позициях;
2. Складываются квадраты цифр, стоящих на четных позициях;
3. Затем в порядке возрастания записываются эти суммы.
Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдает число 72128.
Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число 72128 разбивается на числа 72 и 128. Всего на нечетных позициях в пятизначном числе стоит 3 цифры, на четных - 2 цифры.
Определим сначала, какие цифры могут стоять на четных позициях. Это можно сделать с помощью перебора всех комбинаций x и y, которые являются решениями уравнения \(x^2+y^2=N.\) Потенциально самое большое значение наименьшего разряда (а соответственно и самое маленькое значение наибольшего разряда) может быть в решении уравнения с суммой квадратов неизвестных, равных наибольшему из найденных ранее чисел, т.е. 128. Тогда положим, что \(N=72,\) чтобы в уравнении для цифр на нечетных позициях можно было задать более высокую верхнюю границу и в перспективе поставить самую большую цифру в разряд единиц, а самую маленькую - в разряд десятков тысяч. В текущем же уравнении для цифр на четных позициях \(x^2+y^2=72\) оба числа x и y не могут превышать значения 8. Подходящей (и единственной) комбинацией является {6, 6}.
Теперь найдем комбинацию цифр, которые должны стоять на нечетных позициях. Для этого положим три различные переменные в новое уравнение:
\(x^2+y^2+z^2=128\)
Рассмотрим случай \(x=y=z\). Целых решений для x в уравнении \(3x^2=128\) нет, поскольку 3 не является делителем 128.
Далее рассмотрим \(x=y.\) Необходимо подобрать такое значение z, чтобы полуразность 128 и квадрата z была квадратом какого-либо натурального числа. Перебором приходим к выводу, что если \(z=0,\) то \(2x^2=128,\ x^2=64,\ x=8.\)
Мы нашли частное решение 86860, рассмотрим последний случай, когда x, y и z различны между собой.
Будем брать z = 9, 8, 7... и таким образом искать случай, при котором можно будет получить такую сумму квадратов \(x^2+y^2,\) что одна из переменных x или y была бы меньше 8, а далее и меньше найденных в процессе цифр.
Если \(z=9,\) тогда \(x^2+y^2=128-81=47\). Подходящих решений нет.
Если \(z=8,\) тогда \(x^2+y^2=128-64=64\). Этот вариант уже был рассмотрен ранее.
Если \(z=7,\) тогда \(x^2+y^2=128-49=79\). Подходящих решений нет.
Далее вплоть до \(z=0\) мы так и не найдем подходящих решений.
В таком случае поменяем константы в уравнениях для цифр на четных и нечетных позициях. Пусть для четных \(x^2+y^2=128,\) а для нечетных \(x^2+y^2+z^2=72\). Пройдемся заново по тому же алгоритму. Для четных получим комбинацию {8,8}, а для нечетных {8,2,2}.
Таким образом, мы нашли наименьшее число 28288.
Ответ: 28288
