Уравнения и сложные задачи на системы счисления (страница 5)

Переведём числа в десятичную систему счисления:

\(1010001_2=2^6+2^4+1=65+16+1=81_{10}.\)

\(31_6=3\cdot6^1+1\cdot6^0=18+1=19_{10}.\)

Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:

\(x^2-81=19\)

\(x^2=19+81=100\)

\(x=\pm10\)

Наибольший корень \(x=10_{10}=1\cdot3^1+1\cdot3^0=13_3.\)

Ответ: 13

Приведем к общему основанию:

\(5^{40}+5^{15}-5^{9}\)

Переведем в пятеричную систему счисления и получим:

\(1\underbrace{000...000}_{40} +1\underbrace{000...000}_{15}-1\underbrace{000...000}_{9}\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{24}1\underbrace{00000...00000}_{15}\\ \ 1\underbrace{00..00}_{9} \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{24}0444444\underbrace{00..00}_{9} \end{array} \end{array}\]

Ответ: 3

Приведем к общему основанию:

\(9^{215}+27^{65}-81^{4} = (3^2)^{215} + (3^3)^{65} - (3^4)^4 = 3^{430} + 3^{195} - 3^{16}\)

Переведем в троичную систему счисления и получим:

\(1\underbrace{000...000}_{430} +1\underbrace{000...000}_{195}-1\underbrace{000...000}_{16}\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{234}1\underbrace{000...000}_{179}\underbrace{000...000}_{16}\\ \ 1\underbrace{000...000}_{16} \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{234}0\underbrace{222...222}_{179}\underbrace{000...000}_{16} \end{array} \end{array}\]

Ответ: 251

Переведем в десятичную систему счисления:

\(22_{3}=8_{10}\)

\(100_{2}=4_{10}\)

Вычислим:

\(8x^{2}-12x+4=0\)

\(x1=0,5\)

\(x2=1\)

Переведем в двоичную систему счисления наименьший корень

\(0,5_{10}=0,1_{2}\)

Ответ: 0,1

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: \(2^{1024}+4^5+2=2^{1024}+({2^2})^5+2^1=2^{1024}+2^{10}+2^1.\) В двоичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{1024}+1\overbrace{0...000}^{10}+10.\)
Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{1013}1\underbrace{0...000}_{8}10 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 3

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, а 117, поскольку оно не является степенью пятерки, перевдем в пятеричную систему счисления, получим:
\(5^{14}+25^3-117=5^{14}+({5^2})^3-(4\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0)=5^{14}+5^6-432.\)
Для начала выполним сложение:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_71000000 \end{array} \end{array}\] Вычтем из полученного 432:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,4\,4\,4\,5}\\ 10...01000000\\ 432\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_8444013 \end{array} \end{array}\\\] Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы(она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до последней цифры.

Ответ: 3

Если число оканчивается цифрой 0, это значит, что оно делится на основание системы счисления без остатка. Значит, необходимо найти наименьшее число, которое кратко как 4, так и 6 - это число 12.

Ответ: 12