Если запись числа имеет ровно три значащих разряда, то запись числа трехзначна (состоит из трех цифр, не равных нулю). Если запись числа трехзначна, то максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\), максимальное двузначное число: \(10^2-1=100-1=99\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Четверичная: \(4^3-1=63\), слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Пятеричная: \(5^3-1=124\). Значит, искомое основание - 5. Для проверки переведем \(91_{10}=3\cdot5^2+3\cdot5^1+1\cdot5^0=331_5\)
Ответ: 5