14. Системы счисления (сложно)
Сколько значащих нулей содержится в записи числа, данного ниже, в системе счисления с основанием \(11\)?
\[11^{6}+11^{11}-34\]
Переведем систему счисления равную \(11\) и получим:
\(1\underbrace{000...000}_{11} +1000000-31\)
\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 100001000000\\ \ 31 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 100000AAAA7A \end{array} \end{array}\]
Ответ: 5
Сколько значащих нулей содержится в записи числа, данного ниже, в системе счисления с основанием \(12\)?
\[12^{16}+12^{22}-78\]
Переведем в систему счисления с основанием \(12\) и получим:
\(1\underbrace{000...000}_{16} +1\underbrace{000...000}_{22}-66\)
\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1000001\underbrace{000...000}_{16}\\ \ 66 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1000000\underbrace{BBB...BBB}_{14}56 \end{array} \end{array}\]
Ответ: 6
Сколько значащих цифр \(C\) содержится в записи числа, данного ниже, в системе счисления с основанием \(13\)?
\[13^{14}+13^{35}-547\]
Переведем в систему счисления с основанием \(13\) и получим:
\(1\underbrace{000...000}_{14} +1\underbrace{000...000}_{35}-331\)
\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{20}1\underbrace{000...000}_{14}\\ \ 331 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{20}0CCCCCCCCCCC99C \end{array} \end{array}\]
Ответ: 12
Сколько значащих цифр \(D\) содержится в записи числа, данного ниже, в системе счисления с основанием \(14\)?
\[14^{39}+14^{51}-558\]
Переведем в систему счисления с основанием \(14\) и получим:
\(1\underbrace{000...000}_{39} +1\underbrace{000...000}_{51}-2BC\)
\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{9}001\underbrace{000...000}_{39}\\ \ 2BC \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{9}000\underbrace{DDD...DDD}_{35}DB22 \end{array} \end{array}\]
Ответ: 36
Сколько значащих цифр \(F\) содержится в записи числа, данного ниже, в системе счисления с основанием \(16\)? \[16^{6}+16^{13}-289\]
Переведем в систему счисления с основанием \(16\) и получим:
\(1000000+10000000000000-121\)
\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 10000001000000\\ \ 121 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 10000000FFFEDF \end{array} \end{array}\]
Ответ: 4
Сколько значащих нулей содержится в записи числа, данного ниже, в системе счисления с основанием \(12\)?
\[12^{13}+12^{28}-728\]
Переведем в систему счисления с основанием \(12\) и получим:
\(1\underbrace{000...000}_{13} +1\underbrace{000...000}_{28}-508\)
\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{13}01\underbrace{000...000}_{13}\\ \ 508 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{13}00\underbrace{BBB...BBB}_{9}B6B4 \end{array} \end{array}\]
Ответ: 15
Решите уравнение: \(78_{11}=125_x\)
Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:
\(78_{11}=8\cdot11^0+7\cdot11^1=85\)
\(125_x=5\cdot x^0+2\cdot x^1+1\cdot x^2=5+2x+x^2\)
Теперь решим новое квадратное уравнение и найдем ответ:
\(85=5+2x+x^2\)
\(x^2+2x-80=0\)
\(D=4-4\cdot(-80)=324=18^2\)
\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8 \hfill \\ x=\frac{-2-18}{2}=-\frac{20}{2}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\]
Значит, искомое основание равно 8.
Ответ: 8
