1. Упростим \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y).\)
По закону дистрибутивности \((y \wedge x) \vee (x \wedge \overline y)\) = \( x \wedge (y \vee \overline y).\) \(y \vee \overline y = 1\) (если \(y = 0,\) то \(\overline y \vee y = 1 \vee 0 = 1,\) если \(y = 1,\) то \(\overline y \vee y = 0 \vee 1 = 1).\) Тогда \( x \wedge (y \vee \overline y) = x \wedge 1 = x .\)
2. Упростим \((y\wedge z) \vee (z \wedge x).\) По закону дистрибутивности \((y\wedge z) \vee (z \wedge x) = z \wedge (y \vee x).\)
3. Получим: \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x) = x \vee z \wedge (y \vee x).\)
4. В таблице истинности содержится 8 строчек (строк всегда \(2^n,\) где \(n\) — количество переменных). В нашем случае переменных 3.
5. Заполним таблицу истинности.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & y & z & y \vee x & z \wedge (y \vee x) & F = x \vee z \wedge (y \vee x) \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
Так как дизъюнкция \(x \vee z \wedge (y \vee x)\) истинна, если истинно хотя бы одно из входящих в нее высказываний, то для \(x = 1\) \(F = 1\) при любых \(y\) и \(z\) (строки 5-8 в таблице истинности).
Рассмотрим случай, когда \(x = 0.\) Тогда значение функции будет зависить от значения \(z \wedge (y \vee x).\) Если \(z \wedge (y \vee x)\) истинна, то и \(F\) истинна, если ложна, то \(F\) ложна. Рассмотрим случай, когда \(F = 1.\) Конъюнкция \((z \wedge (y \vee x))\) истинна, если все входящие в нее высказывания истинны, то есть \(y \vee x = 1\) и \(z = 1.\) \(x = 0,\) значит, \(y \vee x = 1,\) когда \(y = 1\) (строка 4).
Если же одно из высказываний, входящих в конъюнкцию, ложно, то вся конъюнкция ложна. Если \(x = 0\) и \(y = 0,\) то \(y \vee x = 0.\) Тогда \(z \wedge (x \vee y) = 0\) при любом \(z\) (строки 1-2). Так как \(x = 0,\) а второе высказывание, входящее в дизъюнкцию \((z \wedge (x \vee y)),\) тоже ложно, то и вся функция ложна. Если \(x = 0\) и \(y = 1,\) то \(y \vee x = 1.\) Если \(z = 0,\) \(z \wedge (y \vee x) = 0.\) Тогда \(F = 0\) (строка 3). Случай, когда \(z = 1,\) \(y = 1,\) \(x = 0,\) был рассмотрен в предыдущем абзаце.
Мы построили таблицу истинности. Видим, что в ней есть 5 наборов, при которых \(F = 1.\) Поэтому ответ: 5.
Ответ: 5