Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
ПОВТОРИ число РАЗ
последовательность команд
КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
сместиться на (-29, -100)
ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
сместиться на \((c, 87)\)
сместиться на (\(32,\; d\))
КОНЕЦ ПОВТОРИ
сместиться на (\(-25,\; 19\))
КОНЕЦ
Укажите количество чисел \(k>1\), для которых найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)
Запишем изменения координат:
\(\Delta x = -29 + k(c+32)-25;\)
\(\Delta y = -100 + k(87+d)+19.\)
Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.
Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:
\[\begin{cases} -29 + k(c+32)-25 = 0 \\ -100 + k(87+d)+19 = 0 \end{cases}\]
Преобразуем выражение:
\[\begin{cases} k(c+32) = 54 \\ k(87+d) = 81 \end{cases}\]
Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 54, и 81.Таких чисел три – 3, 9, 27.
Ответ: 3