Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

1. Системы счисления. Простейшие операции.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Двоичная система счисления (страница 2)

Задание 8 #7087


Переведите в двоичную систему счисления десятичное число 173.


Первый вариант решения
\(173=128+45=128+32+13=128+32+8+4+1=2^7+2^5+2^3+2^2+2^0\). Число 173 представлено в виде суммы двоек в различных степенях. Теперь запишем его в двоичной форме - поставим единицы в тех разрядах, которые отвечают соответствующим степеням двойки в разложении: \(173=10101101_2\). Единица стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 173 по степеням двойки присутствует \(2^0\), единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(2^2\), единица стоит в четвертом разряде, т.к. в разложении есть \(2^3\), единица стоит в шестом разряде, т.к. в разложении есть \(2^5\), единица стоит в восьмом разряде, т.к. в разложении есть \(2^7\). В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять двоичную запись числа 173 пошагово. Для начала, поймем, какая цифра стоит в первом разряде - 1 или 0. Для этого рассмотрим остаток от деления числа 173 на 2: \(173=2\cdot86+1\) - значит, последняя цифра - один, а в следующий разряд переходит число 86. Имеем: \(173=\ldots1_2\). Поделим 86 на 2 с остатком: \(86=2\cdot43+0\), значит, во втором разряде остаётся 0, а в третий разряд переходит 43. Имеем: \(173=\ldots01_2\). Поделим 43 на 2 с остатком: \(43=2\cdot21+1\), значит, в третьем разряде остаётся 1, а в четвертый разряд переходит 21. Имеем: \(173=\ldots101_2\). Поделим 21 на 2 с остатком: \(21=2\cdot10+1\), значит, в четвёртом разряде остаётся 1, а в пятый разряд переходит 10. Имеем: \(173=\ldots1101_2\). Поделим 10 на 2 с остатком: \(10=2\cdot5+0\), значит, в пятом разряде остаётся 0, а в шестой разряд переходит 5. Имеем: \(173=\ldots01101_2\). Поделим 5 на 2 с остатком: \(5=2\cdot2+1\), значит, в шестом разряде остаётся 1, а в седьмой разряд переходит 2. Имеем: \(173=\ldots101101_2\). Поделим 2 на 2 с остатком: \(2=2\cdot1+0\), значит, в седьмом разряде остаётся 0, а в восьмой разряд переходит 1. Имеем: \(173=\ldots0101101_2\). И наконец, поделим 1 на 2 с остатком: \(1=2\cdot0+1\), значит, в восьмом разряде остаётся 1, а в девятый разряд ничего не переходит. Имеем: \(173=10101101_2\), и наш процесс завершён.

Для понимания этого метода, следует представить себе перевод в двоичную систему счисления как процесс упаковки. Представьте, что вы собрали на даче 173 яблока. Представим себе также, что вас ужасают числа, большие единицы, и вам очень не хотелось бы вслух произносить не только число “сто семьдесят три”, но и даже просто число “два”. Зато у вас есть множество маленьких коробочек, в каждую из которых вмещается два яблока. Попробуем уложить все 173 яблока в эти коробочки (деление с остатком: \(173=2\cdot86+1\)) - получится 86 коробочек и одно яблоко. Теперь нам не страшно говорить “одно яблоко”, поскольку мы не боимся говорить “один”, а вот количество получившихся коробочек вызывает у нас проблемы. К счастью, у нас есть ящики, в каждый из которых вмещаются две коробки. Попробуем разложить 86 коробок в ящики (деление с остатком: \(86=2\cdot43+0\)), получим ровно 43 ящика и 0 оставшихся коробок. Говорить “ноль коробок и одно яблоко” - не проблема, а вот 43 ящика - проблема. Хорошо, что у нас есть тележки, на каждую из которых помещается два ящика. Получим 21 тележку, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Тележек многовато (больше одной), поэтому продолжим упаковывать. У нас есть кузова, в каждый из которых помещается две тележки. Имеем 10 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Два кузова поместим в одну фуру, получим 5 фур, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Фуры поместим на паромы - по две фуры на один паром. Получим 2 парома, 1 фура, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Произнести “два парома” мы всё еще не можем, так как боимся числа “два” - придётся их тоже упаковать. Хорошо, что у нас есть бухта, вмещающая ровно два парома. Имеем: 1 бухта, 0 паромов, 1 фура, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Обратите внимание, что во всём этом длинном списке ни одно число не превышает 1. Если записать эти числа без коробок и ящиков, получится: 10101101 - это как раз число 173 в двоичной системе счисления. Именно ДВОИЧНАЯ система счисления заставляет нас бояться чисел “два” и больше, и именно ДВОИЧНАЯ система счисления определяет вместимость всех ящиков и коробок - в коробку помещается два яблока, в ящик - две коробки и т.д.

Ответ: 10101101

Задание 9 #7088


Переведите в двоичную систему счисления десятичное число 215.


Первый вариант решения
\(215=128+64+16+4+2+1=2^7+2^6+2^4+2^2+2^1+2^0\). Число 215 представлено в виде суммы двоек в различных степенях. Теперь запишем его в двоичной форме - поставим единицы в тех разрядах, которые отвечают соответствующим степеням двойки в разложении: \(215=11010111_2\). Единица стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 215 по степеням двойки присутствует \(2^0\), единица стоит во втором разряде, т.к. в разложении есть \(2^1\), единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(2^2\), единица стоит в пятом разряде, т.к. в разложении есть \(2^4\), единица стоит в седьмом разряде, т.к. в разложении есть \(2^6\), единица стоит в восьмом разряде, т.к. в разложении есть \(2^7\). В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять двоичную запись числа 215 пошагово.

  • \(215=2\cdot107+1\)

  • \(107=2\cdot53+1\)

  • \(53=2\cdot26+1\)

  • \(26=2\cdot13+0\)

  • \(13=2\cdot6+1\)

  • \(6=2\cdot3+0\)

  • \(3=2\cdot1+1\)

  • \(1=2\cdot0+1\)

Записываем остатки подряд от последнего равенства к первому, получаем \(215=11010111_2\)

Ответ: 11010111

Задание 10 #7089


Переведите в десятичную систему счисления двоичное число \(1001011100_2\)


Первый вариант решения
\(1001011100_2=2^9+2^6+2^4+2^3+2^2=512+64+16+8+4=604\)
Второй вариант решения
Будем восстанавливать десятичное число из двоичного \(1001011100_2\) пошагово:

  • Перенесём единицу из старшего разряда (десятого) в девятый: \(1\cdot2+0=2\) - прибавление нуля отвечает нулю в девятом разряде двоичного числа.

  • Перенесём полученную двойку из девятого разряда в восьмой: \(2\cdot2+0=4\) - прибавление нуля отвечает нулю в восьмом разряде двоичного числа.

  • Перенесём полученную 4 из восьмого разряда в седьмой: \(4\cdot2+1=8+1=9\) - мы добавили единицу, так как в исходном двоичном числе в седьмом разряде была единица.

  • Перенесём полученную 9 из седьмого разряда в шестой: \(9\cdot2+0=18\)

  • Перенесём полученное число 18 из шестого разряда в пятый: \(18\cdot2+1=37\)

  • Перенесём полученное число 37 из пятого разряда в четвертый: \(37\cdot2+1=75\)

  • Перенесём полученное число 75 из четвертого разряда в третий: \(75\cdot2+1=151\)

  • Перенесём полученное число 151 из третьего разряда во второй: \(151\cdot2+0=302\)

  • Перенесём полученное число 302 из второго разряда в первый: \(302\cdot2+0=604\)

На каждом шаге мы умножали число из предыдущего разряда на 2, а затем добавляли 1 или 0 в зависимости от того, какая цифра стоит в этом разряде в двоичной записи.

Ответ: 604

Задание 11 #7090


Найдите натуральное число большее 7, но меньшее 12, содержащее ровно две единицы в двоичной записи. Если таких чисел несколько, укажите наименьшее из них.


Запишем все числа от 8 до 11 включительно в двоичной системе счисления:

  • \(8=1000_2\)

  • \(9=1001_2\)

  • \(10=1010_2\)

  • \(11=1011_2\)

Легко заметить, что две единицы в двоичной записи содержат десятичные числа 9 и 10. В задаче требуется указать наименьшее такое число, поэтому ответ - 9.

Ответ: 9

Задание 12 #7091


Найдите наименьшее трёхзначное десятичное число, двоичная запись которого содержит пять единиц.


Выпишем несколько самых маленьких трёхзначных чисел в двоичной системе счисления:

  • \(100=1100100_2\)

  • \(101=1100101_2\)

  • \(102=1100110_2\)

  • \(103=1100111_2\)

  • ...

Легко заметить, что пять единиц встречается уже в двоичной записи числа 103, а значит это и есть наименьшее трёхзначное десятичное число, подходящее под условия задачи.

Ответ: 103

Задание 13 #7092


Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство \(10110111_2<x<10111111_2\)? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.


Переведём числа \(10110111_2\) и \(10111111_2\) в десятичную систему счисления:

  • \(10110111_2=183\)

  • \(10111111_2=191\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(183<x<191\). Их легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 183 до 191 находится \((191-183)+1=9\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([183;191]\) не учитываются, то есть \(x\ne183\) и \(x\ne191\). Поэтому из всех чисел от 183 до 191 подходит только \(9-2=7\) чисел.

Ответ: 7

Задание 14 #7093


Сколько существует натуральных решений неравенства \(11010101_2<x<11011111_2\)? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.


Переведём числа \(11010101_2\) и \(11011111_2\) в десятичную систему счисления:

  • \(10110111_2=213\)

  • \(10111111_2=223\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(213<x<223\). Их легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 213 до 223 находится \((223-213)+1=11\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([213;223]\) не учитываются, то есть \(x\ne213\) и \(x\ne223\). Поэтому из всех чисел от 213 до 223 подходит только \(11-2=9\) чисел.

Ответ: 9