Переведите в троичную систему счисления десятичное число 173.
Первый вариант решения
\(173=81+92=81+81+11=81\cdot2+9+2=81\cdot2+9+1\cdot2=2\cdot3^4+1\cdot3^2+2\cdot3^0\). Число 173 представлено в виде суммы троек в различных степенях с коэффициентами 0,1,2. Теперь запишем его в троичной форме - поставим единицы и двойки в тех разрядах, которые отвечают соответствующим коэффициентам при степенях тройки в разложении: \(173=20102_3\). 2 стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 173 по степеням тройки присутствует \(3^0\) с коэффициентом 2, единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(3^2\) с коэффициентом 1, 2 стоит в пятом разряде, т.к. в разложении есть \(3^4\) с коэффициентом 2. В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять троичную запись числа 173 пошагово. Для начала, поймем, какая цифра стоит в первом разряде - 0, 1 или 2. Для этого рассмотрим остаток от деления числа 173 на 3: \(173=3\cdot57+2\) - значит, последняя цифра - 2, а в следующий разряд переходит число 57. Имеем: \(173=\ldots2_3\). Поделим 57 на 3 с остатком: \(57=3\cdot19+0\), значит, во втором разряде остаётся 0, а в третий разряд переходит 19. Имеем: \(173=\ldots02_3\). Поделим 19 на 3 с остатком: \(19=3\cdot6+1\), значит, в третьем разряде остаётся 1, а в четвертый разряд переходит 6. Имеем: \(173=\ldots102_3\). Поделим 6 на 3 с остатком: \(6=3\cdot2+0\), значит, в четвёртом разряде остаётся 0, а в пятый разряд переходит 2. И наконец, поделим 2 на 3 с остатком: \(2=3\cdot0+2\), значит, в пятом разряде остаётся 2, а в шестой разряд ничего не переходит. Имеем: \(173=20102_3\), и наш процесс завершён.
Для понимания этого метода, следует представить себе перевод в троичную систему счисления как процесс упаковки. Представьте, что вы собрали на даче 173 яблока. Представим себе также, что вас ужасают числа, большие двух, и вам очень не хотелось бы вслух произносить не только число “сто семьдесят три”, но и даже просто число “три”. Зато у вас есть множество маленьких коробочек, в каждую из которых вмещается три яблока. Попробуем уложить все 173 яблока в эти коробочки (деление с остатком: \(173=3\cdot57+2\)) - получится 57 коробочек и два яблока. Теперь нам не страшно говорить “два яблока”, поскольку мы не боимся говорить “два”, а вот количество получившихся коробочек вызывает у нас проблемы. К счастью, у нас есть ящики, в каждый из которых вмещаются три коробки. Попробуем разложить 57 коробок в ящики (деление с остатком: \(57=3\cdot19+0\)), получим ровно 19 ящиков и 0 оставшихся коробок. Говорить “ноль коробок и два яблока” - не проблема, а вот 19 ящиков - проблема. Хорошо, что у нас есть тележки, на каждую из которых помещается три ящика. Получим 6 тележек, 1 ящик, 0 коробок, 2 яблока. Тележек многовато (больше двух), поэтому продолжим упаковывать. У нас есть кузова, в каждый из которых помещается три тележки. Имеем 2 кузова, 0 тележек, 1 ящик, 0 коробок, 2 яблока. Обратите внимание, что во всём этом длинном списке ни одно число не превышает 2. Если записать эти числа без коробок и ящиков, получится: 20102 - это как раз число 173 в троичной системе счисления. Именно ТРОИЧНАЯ система счисления заставляет нас бояться чисел “ТРИ” и больше, и именно ТРОИЧНАЯ система счисления определяет вместимость всех ящиков и коробок - в коробку помещается ТРИ яблока, в ящик - ТРИ коробки и т.д.
Ответ: 20102
