Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

1. Системы счисления. Простейшие операции.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Другие системы счисления (страница 2)

Задание 8 #7105


Переведите в троичную систему счисления десятичное число 173.


Первый вариант решения
\(173=81+92=81+81+11=81\cdot2+9+2=81\cdot2+9+1\cdot2=2\cdot3^4+1\cdot3^2+2\cdot3^0\). Число 173 представлено в виде суммы троек в различных степенях с коэффициентами 0,1,2. Теперь запишем его в троичной форме - поставим единицы и двойки в тех разрядах, которые отвечают соответствующим коэффициентам при степенях тройки в разложении: \(173=20102_3\). 2 стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 173 по степеням тройки присутствует \(3^0\) с коэффициентом 2, единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(3^2\) с коэффициентом 1, 2 стоит в пятом разряде, т.к. в разложении есть \(3^4\) с коэффициентом 2. В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять троичную запись числа 173 пошагово. Для начала, поймем, какая цифра стоит в первом разряде - 0, 1 или 2. Для этого рассмотрим остаток от деления числа 173 на 3: \(173=3\cdot57+2\) - значит, последняя цифра - 2, а в следующий разряд переходит число 57. Имеем: \(173=\ldots2_3\). Поделим 57 на 3 с остатком: \(57=3\cdot19+0\), значит, во втором разряде остаётся 0, а в третий разряд переходит 19. Имеем: \(173=\ldots02_3\). Поделим 19 на 3 с остатком: \(19=3\cdot6+1\), значит, в третьем разряде остаётся 1, а в четвертый разряд переходит 6. Имеем: \(173=\ldots102_3\). Поделим 6 на 3 с остатком: \(6=3\cdot2+0\), значит, в четвёртом разряде остаётся 0, а в пятый разряд переходит 2. И наконец, поделим 2 на 3 с остатком: \(2=3\cdot0+2\), значит, в пятом разряде остаётся 2, а в шестой разряд ничего не переходит. Имеем: \(173=20102_3\), и наш процесс завершён.

Для понимания этого метода, следует представить себе перевод в троичную систему счисления как процесс упаковки. Представьте, что вы собрали на даче 173 яблока. Представим себе также, что вас ужасают числа, большие двух, и вам очень не хотелось бы вслух произносить не только число “сто семьдесят три”, но и даже просто число “три”. Зато у вас есть множество маленьких коробочек, в каждую из которых вмещается три яблока. Попробуем уложить все 173 яблока в эти коробочки (деление с остатком: \(173=3\cdot57+2\)) - получится 57 коробочек и два яблока. Теперь нам не страшно говорить “два яблока”, поскольку мы не боимся говорить “два”, а вот количество получившихся коробочек вызывает у нас проблемы. К счастью, у нас есть ящики, в каждый из которых вмещаются три коробки. Попробуем разложить 57 коробок в ящики (деление с остатком: \(57=3\cdot19+0\)), получим ровно 19 ящиков и 0 оставшихся коробок. Говорить “ноль коробок и два яблока” - не проблема, а вот 19 ящиков - проблема. Хорошо, что у нас есть тележки, на каждую из которых помещается три ящика. Получим 6 тележек, 1 ящик, 0 коробок, 2 яблока. Тележек многовато (больше двух), поэтому продолжим упаковывать. У нас есть кузова, в каждый из которых помещается три тележки. Имеем 2 кузова, 0 тележек, 1 ящик, 0 коробок, 2 яблока. Обратите внимание, что во всём этом длинном списке ни одно число не превышает 2. Если записать эти числа без коробок и ящиков, получится: 20102 - это как раз число 173 в троичной системе счисления. Именно ТРОИЧНАЯ система счисления заставляет нас бояться чисел “ТРИ” и больше, и именно ТРОИЧНАЯ система счисления определяет вместимость всех ящиков и коробок - в коробку помещается ТРИ яблока, в ящик - ТРИ коробки и т.д.

Ответ: 20102

Задание 9 #7106


Переведите в восьмеричную систему счисления десятичное число 215.


Первый вариант решения
\(215=64+151=64+64+64+23=3\cdot64+2\cdot8+7=3\cdot8^2+2\cdot8+7\cdot8^0\). Число 215 представлено в виде суммы числа 8 в различных степенях. Теперь запишем его в восьмеричной форме - поставим такие же цифры в соответствующих разрядах, как и коэффициенты при степенях числа 8 в разложении: \(215=327_8\). Цифра 7 стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 215 по степеням числа 8 присутствует \(8^0\) с коэффициентом 7, цифра 2 стоит во втором разряде, т.к. в разложении есть \(8^1\) с коэффициентом 2, цифра 3 стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(8^2\) с коэффициентом 3. Больше в разложении ничего нет.
Второй вариант решения
Будем составлять восьмеричную запись числа 215 пошагово.

  • \(215=8\cdot26+7\)

  • \(26=8\cdot3+2\)

  • \(3=8\cdot0+3\)

Записываем остатки подряд от последнего равенства к первому, получаем \(215=327_8\)

Ответ: 327

Задание 10 #7107


Переведите в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число \(\text{AAF8B}_{16}\)


Для начала, напомним, что в шестнадцатеричной системе счисления буквы A,B,C,D,E,F используются как цифры, идущие после цифры 9. Условно говоря, это аналоги цифр “10”,“11”,“12”,“13”,“14”,“15” соответственно. Просто наши арабские цифры подстроены под десятичную систему счисления, и у нас нет специальных символов для “цифры 10” - мы обозначаем число, идущее после 9 с помощью двух цифр - 1 и 0. В шестнадцатеричной же системе счисления, всё, что меньше 16, считается “цифрой”, и требует специального символа для обозначения. Отсюда и буквы A,B,C,D,E,F.
Первый вариант решения
\(\text{AAF8B}_{16}=10\cdot16^4+10\cdot16^3+15\cdot16^2+8\cdot16^1+11\cdot16^0=10\cdot65536+10\cdot4096+15\cdot256+8\cdot16+11=\\\) \(=655360+40960+3840+128+11=700299\)
Второй вариант решения
Будем восстанавливать десятичное число из шестнадцатеричного \(\text{AAF8B}_{16}\) пошагово:

  • Перенесём цифру A (10) из старшего разряда (пятого) в четвертый: \(\text{A}\cdot16+\text{A}=10\cdot16+10=170\) - прибавление A (10) отвечает цифре A в четвёртом разряде шестнадцатеричного числа.

  • Перенесём полученное число 170 из четвертого разряда в третий: \(170\cdot16+\text{F}=170\cdot16+15=2735\) - прибавление F (15) отвечает цифре F в третьем разряде шестнадцатеричного числа.

  • Перенесём полученное число 2735 из третьего разряда во второй: \(2735\cdot16+8=43768\) - мы добавили 8, так как в исходном шестнадцатеричном числе во втором разряде была цифра 8.

  • Перенесём полученное число 43768 из второго разряда в первый: \(43768\cdot16+\text{B}=43768\cdot16+11=700299\)

На каждом шаге мы умножали число из предыдущего разряда на 16, а затем добавляли некоторое число от 0 до 15 в зависимости от того, какая цифра стоит в этом разряде в шестнадцатеричной записи.

Ответ: 700299

Задание 11 #7108


Найдите натуральное число большее 7, но меньшее 15, содержащее ровно две единицы в троичной записи. Если таких чисел несколько, укажите наименьшее из них. В ответ запишите найденное число в восьмеричной системе счисления.


Запишем все числа от 8 до 14 включительно в троичной системе счисления:

  • \(8=22_3\)

  • \(9=100_3\)

  • \(10=101_3\)

  • \(11=102_3\)

  • \(12=110_3\)

  • \(13=111_3\)

  • \(14=112_3\)

Легко заметить, что две единицы в двоичной записи содержат десятичные числа 10, 12 и 14. В задаче требуется указать наименьшее такое число, поэтому ответ - \(10_{10}\). Осталось перевести 10 в восьмеричную систему счисления: \(10_{10}=12_8\)

Ответ: 12

Задание 12 #7109


Найдите наименьшее трёхзначное десятичное число, шестнадцатеричная запись которого содержит две цифры A. В ответ запишите данное число в троичной системе счисления.


Выпишем несколько самых маленьких трёхзначных чисел в двоичной системе счисления:

  • \(100=64_{16}\)

  • \(101=65_{16}\)

  • \(102=66_{16}\)

  • \(103=67_{16}\)

  • ...

Легко заметить, что простым перебором мы не скоро найдём две цифры A в записи числа. Заметим, что искомое число должно быть не меньше, чем \(\text{AA}_{16}\), иначе в нём не найдутся две цифры A. При этом, само число \(\text{AA}_{16}=A\cdot16+A=10\cdot16+10=170_{10}\) является трёхзначным и содержит две цифры A в шестнадцатеричной записи. Соответственно, \(170_{10}\) является искомым числом. Осталось перевести его в троичную систему счисления:
\(170_{10}=2\cdot81+0\cdot27+0\cdot9+2\cdot3+2\cdot1=20022_3\)

Ответ: 20022

Задание 13 #7110


Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство \(1400_5<x<633_7\)? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.


Переведём числа \(1400_5\) и \(633_7\) в десятичную систему счисления:

  • \(1400_5=225\)

  • \(633_7=318\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(225<x<318\). Их легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 225 до 318 находится \((318-225)+1=94\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([225;318]\) не учитываются, то есть \(x\ne225\) и \(x\ne318\). Поэтому из всех чисел от 225 до 318 подходит только \(94-2=92\) числа.

Ответ: 92

Задание 14 #7111


Сколько существует натуральных решений неравенства \(\text{FF1}_{16}<x<20212012_3\)? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.


Переведём числа \(\text{FF1}_{16}\) и \(20212012_3\) в десятичную систему счисления:

  • \(\text{FF1}_{16}=4081\)

  • \(20212012_3=5000\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(4081<x<5000\). Их нелегко перечислить, поэтому мы посчитаем иначе: от 4081 до 5000 находится \((5000-4081)+1=920\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([4081;5000]\) не учитываются, то есть \(x\ne4081\) и \(x\ne5000\). Поэтому из всех чисел от 4081 до 5000 подходит только \(920-2=918\) чисел.

Ответ: 918