Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

5. Простейшие исполнители и алгоритмы

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8 #14697

Автомат получает на вход какое-то число k (k < 100). По этому числу строится новое число M по таким правилам:

1. k умножается на число равное количеству десятков числа k ;

2. К получившемуся числу прибавляется количество единиц числа k;

3. Вывод получившегося числа M.

Например: число 32 преобразовывается в 98.

Укажите число при вводе которого автомат выдает 292.

Запишем исходное число k в таком виде: \(k = 10x + y\).

Тогда число M можно записать следующим образом: \(M = (10x + y)x + y = 10x^2 + xy + y.\)

Также понятно, что \(0 \leqslant x \leqslant 9\) и \(0 \leqslant y \leqslant 9\)

Заметим, что при \(x > 5\) : \(10x^2 + xy + y > 292\).

Тогда пусть \(x = 5\): \(250 + 6y = 292\);

\(6y = 42\);

\(y = 7\);

Исходное число \(k = 57\).

Ответ: 57

Задание 9 #14698

Автомат получает на вход какое-то число k (k < 100). По этому числу строится новое число M по таким правилам:

1. k умножается на число равное количеству десятков числа k ;

2. К получившемуся числу прибавляется количество единиц числа k;

3. Вывод получившегося числа M.

Например: число 32 преобразовывается в 98.

Укажите число при вводе которого автомат выдает 388.

Запишем исходное число k в таком виде: \(k = 10x + y\).

Тогда число M можно записать следующим образом: \(M = (10x + y)x + y = 10x^2 + xy + y.\)

Также понятно, что \(0 \leqslant x \leqslant 9\) и \(0 \leqslant y \leqslant 9\)

Заметим, что при \(x > 6\) : \(10x^2 + xy + y > 388\).

Тогда пусть \(x = 6\): \(360 + 7y = 388\);

\(7y = 28\);

\(y = 4\);

Исходное число \(k = 64\).

Ответ: 64

Задание 10 #14699

Автомат получает на вход какое-то число k (k < 100). По этому числу строится новое число M по таким правилам:

1. k умножается на число равное количеству десятков числа k ;

2. К получившемуся числу прибавляется количество единиц числа k;

3. Вывод получившегося числа M.

Например: число 32 преобразовывается в 98.

Укажите число при вводе которого автомат выдает 685.

Запишем исходное число k в таком виде: \(k = 10x + y\).

Тогда число M можно записать следующим образом: \(M = (10x + y)x + y = 10x^2 + xy + y.\)

Также понятно, что \(0 \leqslant x \leqslant 9\) и \(0 \leqslant y \leqslant 9\)

Заметим, что при \(x > 8\) : \(10x^2 + xy + y > 685\).

Тогда пусть \(x = 8\): \(640 + 9y = 685\);

\(9y = 45\);

\(y = 5\);

Исходное число \(k = 85\).

Ответ: 85

Задание 11 #14700

Автомат получает на вход какое-то число k (k < 100). По этому числу строится новое число M по таким правилам:

1. k умножается на число равное количеству десятков числа k ;

2. К получившемуся числу прибавляется количество единиц числа k;

3. Вывод получившегося числа M.

Например: число 32 преобразовывается в 98.

Укажите число при вводе которого автомат выдает 64.

Запишем исходное число k в таком виде: \(k = 10x + y\).

Тогда число M можно записать следующим образом: \(M = (10x + y)x + y = 10x^2 + xy + y.\)

Также понятно, что \(0 \leqslant x \leqslant 9\) и \(0 \leqslant y \leqslant 9\)

Заметим, что при \(x > 2\) : \(10x^2 + xy + y > 64\).

Тогда пусть \(x = 2\): \(40 + 3y = 64\);

\(3y = 24\);

\(y = 8\);

Исходное число \(k = 28\).

Ответ: 28

Задание 12 #14701

Автомат получает на вход какое-то число k (k < 100). По этому числу строится новое число M по таким правилам:

1. k умножается на число равное количеству десятков числа k ;

2. К получившемуся числу прибавляется количество единиц числа k;

3. Вывод получившегося числа M.

Например: число 32 преобразовывается в 98.

Укажите число при вводе которого автомат выдает 256.

Запишем исходное число k в таком виде: \(k = 10x + y\).

Тогда число M можно записать следующим образом: \(M = (10x + y)x + y = 10x^2 + xy + y.\)

Также понятно, что \(0 \leqslant x \leqslant 9\) и \(0 \leqslant y \leqslant 9\)

Заметим, что при \(x > 5\) : \(10x^2 + xy + y > 256\).

Тогда пусть \(x = 5\): \(250 + 6y = 256\);

\(6y = 6\);

\(y = 1\);

Исходное число \(k = 51\).

Ответ: 51

Задание 13 #15513

Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по таким правилам:

1. Складываются квадраты цифр, стоящих на нечетных позициях;

2. Складываются квадраты цифр, стоящих на четных позициях;

3. Затем в порядке возрастания записываются эти суммы.

Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдает число 2597.

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 25 и 97.

Есть 2 варианта: сумма квадратов цифр на четных местах равна 25, тогда сумма квадратов цифр на нечетных равна 97, и наоборот. Запишем эти варианты в виде систем уравнений, опишем алгоритм для одной системы и используем его для второй.

\[\begin{cases} x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 25 \\ x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 97 \end{cases}\]

\[\begin{cases} x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 97 \\ x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 25 \end{cases}\]

Рассмотрим систему (1). Для получения как можно меньшего числа желательно, чтобы на первых местах стояли самые маленькие цифры, а далее - какие возможны при сочетании с предыдущими в паре или тройке.

Переменные x и y с индексами 1 обозначают комбинацию для цифр, стоящих на четных местах. На второе место нужно поставить наименьшую цифру из комбинации, на четвертое - оставшуюся. Будем начинать с \(x_1 = 0\) и смотреть, можно ли к нему подобрать такое \(y_1\), чтобы получилось верное равенство. Сразу же можно заметить, что для \(x_1=0\ y_1=5\).

Теперь проделаем подобные действия для уравнения с тремя переменными, но будем начинать с \(x_2 = 1,\) т.к. 0 нельзя поставить на первое место.

При \(x_2 = 1\ y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 96.\) Уравнение неразрешимо для натуральных чисел.

При \(x_2 = 2\ y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 93.\) Уравнение также неразрешимо.

Так далее увеличивая \(x_2\) на единицу дойдем до первого разрешимого уравнения. Значение \(x_2\), при котором это уравнение было получено, будет самым подходящим. Уже из уравнения для двух переменных найдем комбинацию по аналогичному способу для цифр, стоящих на четных местах.

Таким образом, подходящая комбинация для цифр, стоящих на нечетных местах, будет такая: {4,9,0}. Из системы (1) мы получили решение 40059.

Пройдемся по системе (2) с помощью алгоритма, описанного выше, получим комбинацию {4,9} для цифр, стоящих на четных местах, и комбинацию {3,0,4} для цифр, стоящих на нечетных местах. Соберем цифры в число и получим 34094, это число меньше найденного ранее 40059, значит именно 34094 пойдет в ответ.

Ответ: 34094

Задание 14 #15504

Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по таким правилам:

1. Складываются квадраты цифр, стоящих на нечетных позициях (пусть нумерация идет с левой цифры);

2. Складываются квадраты цифр, стоящих на четных позициях;

3. Затем в порядке возрастания записываются эти суммы.

Укажите наименьшее число, при вводе которого автомат выдает число 4141.

Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число 4141 разбивается на числа 41 и 41. Всего на нечетных позициях в пятизначном числе стоит 3 цифры, на четных - 2 цифры. Определим сначала, какие цифры могут стоять на четных позициях. Это можно сделать с помощью перебора всех комбинаций x и y, которые являются решениями уравнения \(x^2+y^2=41.\) Оба числа x и y не могут превышать значения 6, так что перебор не будет большим. В результате получаем комбинацию {4, 5}. Теперь найдем комбинацию цифр, которые должны стоять на нечетных позициях. Для этого положим три различные переменные в новое уравнение:

\(x^2+y^2+z^2=41\)

Рассмотрим случай \(x=y=z\). Целых решений для x в уравнении \(3x^2=41\) нет, поскольку 3 не является делителем 41.

Далее рассмотрим \(x=y.\)

Необходимо подобрать такое значение z, чтобы полуразность 41 и квадрата z была квадратом какого-либо натурального числа. Перебором приходим к выводу, что если \(z=3,\) то \(2x^2=41-9=32,\ x^2=16,\ x=4.\)

Мы нашли частное решение 34454, рассмотрим последний случай, когда x, y и z различны между собой.

Чтобы нашлось число меньше, нужно, чтобы одна из переменных была меньше, чем 3.

Допустим, \(x=2,\) тогда \(y^2+z^2=41,\) а это, как мы знаем, может быть только при \(y=5\) и \(z=4,\) или наоборот, при \(z=5, y=4. \)

Проверим, что будет при x = 1. Перебором приходим к выводу, что уравнение \(y^2+z^2=40\) верно только для комбинации решений {6, 2}.

Таким образом, располагая цифры в порядке возрастания, имеем число 14256. Первую цифру меньше получить уже нельзя, поскольку иначе выйдет 4-значное число, 2 и 4 цифры нельзя взять меньше из-за единственности решения уравнения \(x^2+y^2=41\) на множестве натуральных чисел, 3 и 5 цифры аналогично из-за единственности решения уравнения \(x^2+y^2=40.\)

Ответ: 14256