Сумма квадратов 3 чисел принадлежит промежутку [0,243], а сумма квадратов 2 чисел промежутку [0,162]. В соответствие с этими правилами число разбивается на число 25 и 97.
Есть 2 варианта: сумма квадратов цифр на четных местах равна 25, тогда сумма квадратов цифр на нечетных равна 97, и наоборот. Запишем эти варианты в виде систем уравнений, опишем алгоритм для одной системы и используем его для второй.
\[\begin{cases}
x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 25 \\
x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 97
\end{cases}\]
\[\begin{cases}
x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 97 \\
x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 25
\end{cases}\]
Рассмотрим систему (1). Для получения как можно меньшего числа желательно, чтобы на первых местах стояли самые маленькие цифры, а далее - какие возможны при сочетании с предыдущими в паре или тройке.
Переменные x и y с индексами 1 обозначают комбинацию для цифр, стоящих на четных местах. На второе место нужно поставить наименьшую цифру из комбинации, на четвертое - оставшуюся. Будем начинать с \(x_1 = 0\) и смотреть, можно ли к нему подобрать такое \(y_1\), чтобы получилось верное равенство. Сразу же можно заметить, что для \(x_1=0\ y_1=5\).
Теперь проделаем подобные действия для уравнения с тремя переменными, но будем начинать с \(x_2 = 1,\) т.к. 0 нельзя поставить на первое место.
При \(x_2 = 1\ y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 96.\) Уравнение неразрешимо для натуральных чисел.
При \(x_2 = 2\ y_{2}^{2} + z_{2}^{2} = 93.\) Уравнение также неразрешимо.
Так далее увеличивая \(x_2\) на единицу дойдем до первого разрешимого уравнения. Значение \(x_2\), при котором это уравнение было получено, будет самым подходящим. Уже из уравнения для двух переменных найдем комбинацию по аналогичному способу для цифр, стоящих на четных местах.
Таким образом, подходящая комбинация для цифр, стоящих на нечетных местах, будет такая: {4,9,0}. Из системы (1) мы получили решение 40059.
Пройдемся по системе (2) с помощью алгоритма, описанного выше, получим комбинацию {4,9} для цифр, стоящих на четных местах, и комбинацию {3,0,4} для цифр, стоящих на нечетных местах. Соберем цифры в число и получим 34094, это число меньше найденного ранее 40059, значит именно 34094 пойдет в ответ.
Ответ: 34094