8. Количество информации и комбинаторика
Сколько существует различных двоичных кодов длиной 5 символов, содержащих 3 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.
Первой в двоичном коде стоит единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 2 недостающие единицы на n = 4 оставшихся места в коде. Сделать это можно \(C^2_4 = \frac{4!}{(4-2)! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\) способами. Значит всего существует 6 различных искомых кодов.
Ответ: 6
Максим составляет пары слов. Первое 6-буквенное слово состоит из букв М, О, Щ, Н, а второе 2-буквенное из букв В, Е, Б. Каждая из букв в словах может встречаться любое количество раз или не встречаться совсем, причём в первом слове должно быть 5 подряд идущих согласных. Сколько различных пар слов может составить Максим?
В первом слове Максим должен получить 5 подряд идущих согласных, а значит либо на 1, 2, 3, 4 и 5 местах должны стоять согласные, а на 6 любая из 4 букв, либо на 2, 3, 4, 5, 6 местах должны стоять согласные, а на 1 любая из 4 букв. Всего согласных 3. Значит первое слово можно составить \(2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4) = 1944\) способами. Во втором слове на каждое из 2 мест можно поставить любую из 3 букв. Значит второе слово можно составить \(3 \cdot 3 = 9\) способами.
Представим, что первые слова — чашки, а вторые слова — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?
Можно составить \(1944 \cdot 9 = 17496\) различных пар слов (блюдец с чашкой).
Ответ: 17496
Александр составляет пары слов. Первое 3-буквенное слово состоит из букв М, О, Д, а второе 4-буквенное из букв С, П, И, Н. Каждая из букв может встречаться в словах любое количество раз или не встречаться вовсе. Сколько различных пар слов может составить Александр?
В первом слове на каждое из 3 мест в слове можно поставить любую из 3 различных букв. Значит первое слово можно составить \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) способами. Во втором слове на каждое из 4 мест в слове можно поставить любую из 4 различных букв. Значит второе слово можно составить \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256\) способами.
Представим, что первые слова — чашки, а вторые слова — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?
Можно составить \(27 \cdot 256 = 6912\) различных пар слов (блюдец с чашкой).
Ответ: 6912
Даниил составляет пары слов. Первое 3-буквенное слово состоит из букв М, А, Г, а второе 6-буквенное из букв Ц, А, Р, Ь. Каждая из букв первого слова может встречаться в нём ровно один раз, а каждая из букв второго слова может встречаться в нём любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных пар слов может составить Даниил?
В первом слове Даниил первой буквой может поставить любую из 3 доступных букв, второй буквой — любую из оставшихся 2, а третьей последнюю оставшуюся букву. Значит первое слово можно составить \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) способами. Во втором слове на каждое из 6 мест в слове можно поставить любую из 4 различных букв. Значит второе слово можно составить \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4096\) способами.
Представим, что первые слова — чашки, а вторые слова — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?
Можно составить \(6 \cdot 4096 = 24576\) различных пар слов (блюдец с чашкой).
Ответ: 24576
Николай составляет пары слов. Первое 2-буквенное слово состоит из букв Я, Д, а второе 5-буквенное из букв Л, А, Т, Е, Х. Каждая из букв может встречаться в словах любое количество раз или не встречаться вовсе. Сколько различных пар слов может составить Николай?
В первом слове на каждое из 2 мест в слове можно поставить любую из 2 различных букв. Значит первое слово можно составить \(2 \cdot 2 = 4\) способами. Во втором слове на каждое из 5 мест в слове можно поставить любую из 5 различных букв. Значит второе слово можно составить \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125\) способами.
Представим, что первые слова — чашки, а вторые слова — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?
Можно составить \(4 \cdot 3125 = 12500\) различных пар слов (блюдец с чашкой).
Ответ: 12500
Илья составляет пары слов. Первое 3-буквенное слово состоит из букв Р, А, К, а второе 4-буквенное из букв К, Р, А, Б. Каждая из букв слов может встречаться в них любое количество раз или не встречаться совсем, причём второе слово должно начинаться с буквы К. Сколько различных пар слов может составить Илья?
В первом слове на каждое из 3 мест в слове можно поставить любую из 3 различных букв. Значит первое слово можно составить \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) способами. Во втором слове на первое место Илья ставит букву К, а на каждое из 3 оставшихся мест в слове он может поставить любую из 4 различных букв. Значит второе слово можно составить \(1 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\) способами.
Представим, что первые слова — чашки, а вторые слова — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?
Можно составить \(27 \cdot 64 = 1728\) различных пар слов (блюдец с чашкой).
Ответ: 1728
Борис составляет 5-буквенные слова из букв Ш, А, Л, Ы, К. Каждая из букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем, причём первой буквой не может быть гласная. Сколько различных слов может составить Борис?
Первой буквой Борис может поставить любую из букв, кроме гласных А и Ы, т.е. одну из 3 букв Ш, Л, К. На остальные 4 места Борис ставит любую из 5 букв. Всего Борис может составить \(3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 1875\) различных слов.
Ответ: 1875
