\[(\neg(x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\] \[((x \in A) \vee (x \in P)) \rightarrow ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[\neg ((x \in A) \vee (x \in P)) \vee ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[(x \notin A) \wedge (x \notin P) \vee (x \notin A) \vee (x \in Q)\] \[(x \notin A) \vee (x \in Q)\]

Получается, что \(x\) должен принадлежать \(Q\), либо не принадлежать \(A\). Так как мы ищем наибольшую возможную длину \(A\), необходимо, чтобы он полностью содержался в \(Q\), т.е. максимальная длина отрезка \(A=60-35=25\).

Ответ: 25

Задание 9 #12651

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 17]\) и \(Q = [15; 25]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула

\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]

истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Показать решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=17-15=2\).

Ответ: 2

Задание 10 #12652

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [5; 35]\) и \(Q = [20; 51]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула

\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]

истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).

Показать решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]

Ответ: 15

Задание 11 #12653

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 50]\) и \(Q = [30; 65]\).Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной \(x\):

\[\neg(x \in A) \rightarrow (((x \in P) \wedge (x \in Q)) \rightarrow (x \in A))\]

Какова наименьшая возможная длина отрезка \(A\)?

Показать решение

Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:

\[(x \in A) \vee (\neg (x \in P) \wedge (x \in Q)) \vee A)\] \[\neg(x \in A) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee A\]

Ответ: 20

1 2 cледующая
подтема